Основные методы интегрирования. Методические указания и контрольные задания 3 и 4

МАТЕМАТИКА

Методические указания и контрольные задания 3 и 4

для студентов-заочников 1-го курса

Направления:

Технология изделий легкой промышленности

Конструирование изделий легкой промышленности

Технология и проектирование текстильных изделий

Технология художественной обработки материалов

Торговое дело

Товароведение

Техносферная безопасность

Составители Г. П. Мещерякова Е.В. Наумова

Санкт-Петербург

УТВЕРЖДЕНО

на заседании методического семинара

кафедры математики

протокол № 2 от 31.10.14

Рецензент

Н. В. Дробатун

Оригинал подготовлен составителями и издан в авторской редакции

Подписано в печать11.10.12. Формат 60х84 1/16.

Усл. печ. л. 1,7 _. Тираж _ 100 _. Заказ 281/12

Электронный адрес: https://alt-rinpo.sutd.ru/

Отпечатано в типографии СПГУТД.

191028, Санкт - Петербург, ул. Моховая, 26

При выполнении контрольной работы на титульном листе указывается:

фамилия, имя, отчество;

номер студенческого билета;

название дисциплины, номер контрольной работы, номер варианта.

Номер варианта соответствует последней цифре номера студенческого билета. Например, номер кончается на 5, то для четного года поступления делаются 1.15, 2.15, 3.15, 4.15 задания, а при нечетном годе – 1.5, 2.5, 3.5, 4.5).

Перечень контрольных заданий по методичке кафедры математики

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА N 3 (методичка к/р 3,4)

Нечетный год поступления N 1(1 -10), 2(1 – 10), 3(1 – 10), 4(1 – 10).

Четный год поступления N 1(11 -20), 2(11 – 20), 3(11 – 20), 4(11 – 20).

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА N 4 (методичка к/р 3,4)

Нечетный год поступления N 1 (1 -10), 2 (1 - 10), 3 (1 - 10).

Четный год поступления N 1 (11 -20), 2 (11 - 20), 3 (11 - 20).

Контрольная работа № 3

Неопределенный интеграл

Определение и свойства неопределенного интеграла

Литература. [1], гл. Х, §1-3, упр. 2, 5, 7, 9, 11, 14, 16, 17, 25, 41, 46, 49, 58, 60, 66.

Основные методы интегрирования

Литература. [1], гл. Х, §4, упр. 27, 28, 33, 37, 47, 51, 65, 72, 83, 89, 91, 94, 100, 101; §6, упр. 127-131, 134, 135, 138, 140, 143, 145.

Пример 1. .

Решение. Используем теорему: интеграл от разности функций равен разности интегралов.

Пример 2. Вычислить .

Решение. Сравним наш интеграл стабличным

У нас , формально интеграл не табличный. Используем теорему о линейной замене переменной:

если , то .

В интеграле , т.е. а = 2, следовательно

.

Проверим полученный результат дифференцированием

Интеграл взят правильно.

Пример 3. , т.е. .

Решение. Так как , то используем теорему о «замене типа подведение под знак дифференциала»

, где t = g (x)

У нас . Тогда

Пример 4. , т.е. .

Решение. Так как , то то используем теорему о «замене типа подведение под знак дифференциала», . Тогда . Домножим в числителе на 3, при этом надо и знаменатель умножить на 3.

.

Проверим дифференцированием

.

Пример 5. Найти .

Решение. Так как , то используем теорему о «замене типа подведение под знак дифференциала» argtgx = t, тогда dt = d(arctg(x)) = и e^{arctg x} = e^t

Подставляя в исходный интеграл, имеем = e^{arctg x} + C.

Пример 6. Найти .

Решение. Здесь уместна замена t = cos x, т.к. dt = - sin x dx, и sin³x dx = sin²x sinx dx. Поэтому

Пример 7. Найти .

Решение. Используем метод интегрирования по частям

Так как производная от х равна 1, то возьмем u = x. Используем формулу, приведя схему записи удобную при использовании метода интегрирования по частям.

= - x cosx + = - x cosx + sinx + C.

Пример 8. Найти .

Решение. Используем метод разложения на простейшие. Знаменатель имеет два различных действительных корня, разложим подинтегральную функцию на простейшие слагаемые

Приравняем числители и учтем, что коэффициенты при одинаковых степенях х, стоящие слева и справа должны совпадать

Следовательно