V k1 k2

Замечание: Несвязный граф можно всегда представить как объединение связных компонент. Эти компоненты можно рассматривать независимо.

Вершина графа называется точкой сочленения, если ее удаление увеличивает число компонент связности.

В любом нетривиальном графе есть, по крайней мере, две вершины, которые не являются точками сочленения.

Теорема: Пусть р – число вершин, q – число ребер, k – число компонент связности графа. Тогда (p-k) ≤ q ≤ (p-k)(p-k+1) / 2.

Следствие: Если q > (p-1)(p-2) / 2, то граф связен.

Мостом называется ребро, удаление которого увеличивает число компонент связ­ности.

Рассмотрим рисунок:

w c d

b e f

u, v – точки сочленения, х – ребро-мост, awb, buw, awub, cdv, evf – блоки.

Блоком называется связный граф, не имеющий точек сочленения.

Если в графе есть мост, то есть и точка сочленения. Концы всякого моста кроме висячих вершин являются точкой сочленения, но не всякая точка сочленения является концом моста.

Вершинной связностью графа G (обозначается x(G)) называется наименьшее чи­сло вершин, удаление которых приводит к несвязному или тривиальному графу.

Пример:

æ(G) = 0, если G несвязен;

æ(G) = 1, если G имеет точку сочленения;

Граф G называется k-связным, если æ(G) = k.

Реберной связностью графа G (обозначается A(G)) называется наименьшее число ребер, удаление которых приводит к несвязному или тривиальному графу.

Пример:

λ(G) = 0, если G несвязен;

λ(G) = 1, если G имеет мост;

λ(К_р) = р-1, значит, граф К_р – полный.