Основные свойства математических моделей

Ø Множественность и единство моделей.

С одной стороны, реальная система может иметь несколько совершенно различных моделей, с другой стороны – одна и та же математическая конструкция может представлять различные системы.

Множественность объясняется, необходимостью исследования различных свойств системы (необходимостью решения различных задач исследования).

В качестве примера из квантовой физики. Нильс Бор в 1913 году построил графическую модель ядра водорода, которая предполагает наличие стационарных орбит движения электрона, и достаточно хорошо описывает свойства его поведения как частицы. Модель Шредингера (уравнение Шредингера) определяет вид волновой функции, то есть фактически описывает поведение электрона как волны. Это пример множественности моделей одного объекта для описания различных свойств (корпускулярные и волновые свойства элементарных частиц).

Единство моделей объясняется в первую очередь тем, что любая математическая конструкция может представлять собой модель различных систем.

Например, рассмотрим самую простую линейную зависимость

Это простейший вид функциональной зависимости – прямая пропорциональная зависимость переменной Y от переменной Х, к – коэффициент пропорциональности.

Графически пропорциональная зависимость изображается прямой линией, проходящей через начало координат, угловой коэффициент которой равен коэффициенту пропорциональности.

Рис. 4. Пропорциональная зависимость

Эта математическая формула может рассматриваться в качестве модели, например, усилителя напряжения или трансформатора. – устройства для повышения или понижения напряжения переменного тока (действие основано на явлении магнитной индукции).

Рис. 5 Схема трансформатора

Отношение абсолютных значений напряжений U2 и U1 на концах вторичной и первичной обмоток при холостом ходе называется коэффициентом трансформации - k. Формула для трансформатора такова

, или

Таким образом, формула пропорциональности есть модель процесса трансформации напряжения.

Эта та же формула может служить моделью и другой системы. Например, моделью рычага

Рис.6. Схема рычага

Рычаг описывается следующим соотношением

или

Если различные объекты имеют одинаковую модель, то возможно моделировать один объект другим.

Ø Свойство конечности (приблизительности) моделей.

Модель отображает оригинал лишь в конечном числе его отношений. Любая модель имеет ограничения. Эти ограничения устанавливает разработчик в зависимости от целей исследования.

Формула не может описывать всех свойств системы. Формула (модель) должна быть адекватна только исследуемым свойствам объекта.

Например, если мы исследуем процесс трансформации напряжения в установленных нормативах, то представленная выше модель пропорциональной зависимости адекватна. А если нам необходимо исследовать процесс магнитной индукции, то мы не получим линейной зависимости на всем диапазоне изменения аргумента, поскольку существует эффект насыщения магнитного сердечника. А еще здесь присутствует гистерезис. Для исследования этих свойств нужна уже другая модель.

Рис. 7. Эффекта гистерезиса.

Действительность отображается моделью всегда грубо или приблизительно, поскольку модель – это абстракция. Она по определению всегда является лишь относительным, приближенным подобием системы-оригинала и в информационном отношении принципиально беднее последней. Это ее фундаментальное свойство.

Несущественные свойства отбрасываются, и сложная исходная задача сводится к идеализированной задаче, поддающейся математическому анализу.

С подобной абстракцией очень часто приходится встречаться. Например, в механике, при описании некоторых процессов зачастую не учитывается сила трения, либо принимается, что все тела абсолютно твердые, жидкости не имеют вязкости и тому подобное. Все это идеализированные модели реально протекающих процессов. Они являются абстракциями и не существуют в реальной действительности.

Ø Адекватность и эффективность моделей.

Адекватность обеспечивается степенью соответствия свойств и параметров модели свойствам и параметрам системы. Вопрос об адекватности модели относится к числу важнейших. Понятно, что чем больше мы учтем связей и параметров, определяющих состояние системы, тем адекватнее будет модель.

Под эффективностью понимают практическую полезность - имеется ли совпадение результатов моделирования с наблюдаемыми фактами (с заданной степенью точности), или не имеется.

Процесс моделирования содержит противоречие. Мы стремимся к более полному учету в модели всех свойств и параметров системы. Неизбежным следствием этого является рост сложности, которая проявляется в числе переменных, числе учитываемых связей, повышении требования к точности исходных данных и т.д. Однако практика показала, что эффективность модели находится в обратной зависимости от её сложности, быстро убывая с ростом последней. Поэтому и нужен баланс между адекватностью и эффективностью. Адекватность обеспечивается только в отношении выбранных параметров.

Нельзя построить модель, которая бы отражала все свойства объекта. Это может сделать только сам объект. Поэтому, любая модель имеет рамки применимости. Модель должна быть адекватна только относительно выбранных (моделируемых) свойств объекта. Эффективность можно определить только проверкой.

Проверка эффективности модели называется верификацией.

Иногда верификация представляет достаточно сложную процедуру. Например, верификация моделей долгосрочного прогнозирования и планирования экономических процессов. Долгосрочное планирование осуществляется на 10-15 лет. Ведь нельзя же столько лет ожидать наступления событий, чтобы проверить правильность предпосылок модели. В таких ситуациях используется метод моделирования по «предпрошлым» данным.

Ø Свойство достаточной простоты

Это свойство вытекает из предыдущего свойства. Требование адекватности модели предполагает учет большого числа связей и параметров, но это приведет к снижению эффективности модели.

Поэтому, изначально модель строят как можно простой с последующим ее усложнением (при необходимости). Модель должна охватывать только существенные стороны системы.

Чрезмерная точность модели на практике не менее вредна, чем её неполнота и грубость.

Определить наилучшее сочетание точности модели с одной стороны и простоты с другой, практически никогда не удается из-за сложности описания и неоднозначности большинства связей системы.

Наилучшая в практическом отношении эффективность модели достигается как разумный компромисс между близостью модели к оригиналу (адекватностью) и простотой, обеспечивающей возможность и удобство использования модели по её прямому назначению.

Ø Устойчивость моделей.

Это свойство системы сохранять значения параметров в допустимых пределах при незначительном воздействии возмущающих факторов.

Всякая математическая модель является результатом идеализации исследуемого процесса или объекта. Все связи не могут быть никогда учтены, а физические величины, входящие в математические уравнения, не могут быть измерены без какой-то погрешности. Теперь представим себе, что мы нашли частное решение некоторого уравнения, соответствующее определенным начальным условиям. Решение, естественно, будет зависеть от начальных условий. Бывают такие случаи, когда малейшее изменение начальных условий вызывает сильное изменение решения. В этом случае решение называют неустойчивым.

Ясно, что такая модель не имеет никакого прикладного значения, ибо ошибка в задании условий на практике неизбежна.

Поясним это на конкретном примере.

Нельзя вычислить массу очков, взвесив человека в очках и без них, а затем взяв разность результатов. Масса очков составляет 0,1% от веса человека. В то время, как погрешность весов – 1%. Поэтому, погрешность измерения веса очков превышает измеряемую величину в 10 раз.

В связи с этим целым разделом математики стало учение об устойчивости – теория устойчивости. Имеется в виду устойчивость относительно погрешностей в исходных данных. Все исходные данные имеют погрешность в измерениях. И это не должно влиять на результаты моделирования. Если мы будем моделировать свойства объекта, размерность которых соизмерима с точностью модели, то результат будет недостоверным.