Основные понятия. Матрицейразмерностиm´n называется таблица чисел, расположенных в m строках и n столбцах

Матрицейразмерностиm ´ n называется таблица чисел, расположенных в m строках и n столбцах.

Эту таблицу принято заключать в круглые скобки. Так,

-

матрица размерности 2´3.

В общем виде матрица выглядит так:

где a_ij ¾ числа, из которых состоит матрица (читается «а-и-жи»). Они называются элементами матрицы, i - номер строки, на которой располагается a_ij, j - номер столбца.

Так, в нашем примере, a ₁₁=2, a ₁₂=3, a ₁₃= , a ₂₁=-4, a ₂₂= p, a ₁₁=0.

Матрицы обозначаются через заглавные буквы латинского алфавита, возможно, снабжённые индексами: A, B, C, …, X, Y, Z, A ₁, A ₂, …, A_n. Если мы хотим подчеркнуть размерность матрицы, то пользуемся обозначением A_{m ´ n}, B_{m ´ n} и т.д. Возможно также обозначение типа (a_ij) _{m ´ n}, что означает, что матрица состоит из элементов a_ij и имеет размерность m ´ n.

Если матрица имеет только одну строку, то она называется матрицей - строкой или строкой. Если матрица имеет только один столбец, то матрица называется матрицей - столбцом или столбцом, то есть

(а ₁, а ₂, … а_n) - строка,

- столбец.

Две матрицы A =(a_ij) _{m ´ n} и B =(b_ij) _{k ´ l}равны, если их размерности одинаковы (m = k и n = l) и a_ij = b_ij для всех i =1, …, m и j =1, …, n.

Матрица A =(a_ij) _{m ´ n} вида

,

где 2£ k £ n, 1£ l < s < t < p £ n, r £ m, называется ступенчатой. Например,

- ступенчатая матрица.

r £ m означает, что возможно r = m и нулевые строки могут отсутствовать:

.

Частным случаем ступенчатой является трапециедальная:

.

Матрица A_{m ´ n} называется квадратной размерности n, если m = n. Обозначение квадратной матрицы:

.

При этом элементы a ₁₁, a ₂₂, …, a_nn образуют главную диагональ матрицы. Другая диагональ (a_{n 1}, a_{n -1, 2}, …, a _{1 n}) называется побочной.

Если все элементы, стоящие под элементами главной диагонали квадратной матрицы равны нулю, то матрица называется верхнетреугольной. Аналогично, если все элементы над главной диагональю квадратной матрицы нулевые, то матрица называется нижнетреугольной. То есть

- верхнетреугольная матрица,

- нижнетреугольная матрица.

Ниже всюду под треугольной матрицей будем подразумевать верхнетреугольную матрицу.

Ясно, что (верхне)треугольная матрица является частным случаем трапециедальной, и, в частности, ступенчатой.

Если все элементы квадратной матрицы, стоящие вне главной диагонали, равны нулю, то матрица называется диагональной, то есть

- диагональная матрица.

Таким образом, диагональная матрица является одновременно и верхнетреугольной, и нижнетреугольной.

Если в диагональной матрице a ₁₁= a ₂₂=…= a_nn, то она называется скалярной, то есть

- скалярная матрица.

Скалярная матрица с диагональными элементами a =1 называется единичной. Единичную матрицу обозначаем через E, или, если хотим подчеркнуть размерность, через E_n.

Нулевой матрицей называется матрица, все элементы которой равны нулю. Нулевую матрицу будем обозначать через O, или, желая подчеркнуть размерность m ´ n, через O _{m ´ n}.

Если A =(a_ij) _{m ´ n} - некоторая матрица, то транспонированной к A называется матрица A ^T такая, что A ^T=(a_ji) _{n ´ m}.

В литературе встречаются также другие обозначения транспонированной матрицы: A ^t, A ¢, ^T A, ^t A.

Таким образом, для получения транспонированной к A нужно каждую строку A перевести в столбец, сохранив порядок их следования (ясно, что тогда каждый столбец переведётся в строку).

Например,

= .

Если A - столбец, то его часто будем выписывать в виде транспонированной строки, то есть в виде A ^T. Например, (4; -1; 2)^Т будет обозначать столбец .