Степенные ряды

Степенным рядом называется функциональный ряд вида , где - действительные числа. Числа называются коэффициентами ряда.

Всякий степенной ряд сходится в точке .

Радиусом сходимости степенного ряда называется число такое, что при ряд сходится (и притом абсолютно), а при расходится. Интервал при этом называется интервалом сходимости ряда. На концах интервала сходимости, т.е. в точках , ряд может как сходится, так и расходится.

Областью сходимости степенного ряда является интервал сходимости , к которому присоединяются точки , если в них ряд сходится. В частности, радиус сходимости может быть равен , тогда область сходимости ряда состоит из одной точки , и , тогда областью сходимости ряда является вся числовая прямая.

Интервал сходимости определяют обычно с помощью признаков Даламбера или Коши (радикального), вычисляя пределы или и решая неравенство .

Для степенного ряда интервал сходимости можно найти, вычислив его радиус сходимости по формулам или (указанными формулами нельзя пользоваться, если степенной ряд содержит члены только с чётными или только нечётными степенями ).

В задачах 8.140-8.160 найти область сходимости следующих степенных рядов:

8.140 . 8.141 . 8.142 .

8.143 . 8.144 . 8.145 . 8.146 . 8.147 . 8.148 . 8.149 . 8.150 . 8.151 . 8.152 . 8.153 . 8.154 .

8.155 . 8.156 .8.157 . 8.158 . 8.159 . 8.160 .

Внутри общего интервала сходимости степенные ряды можно почленно складывать и вычитать, полученные при этом ряды имеют тот же интервал сходимости:

Внутри интервала сходимости степенной ряд можно почленно дифференцировать и интегрировать, полученные при этом ряды имеют тот же интервал сходимости:

1) ;

2) .

Степенной ряд называется рядом Тейлора функции в точке . При ряд Тейлора называется рядом Маклорена: .

Представление функции в виде , называется разложением в ряд Тейлора. Равенство имеет место тогда и только тогда, когда остаток ряда при для всех из некоторой окрестности точки , входящей в интервал сходимости ряда. Для оценки остатка ряда Тейлора часто пользуются формулой , где .

При разложении функций в степенные ряды, как правило, используют основные разложения элементарных функций в ряд Маклорена (Приложение 5). Иногда при разложении используют почленное дифференцирование или интегрирование. При разложении в степенные ряды рациональных дробей рекомендуется представлять их в виде суммы простейших дробей.

В задачах 8.161-8.178 используя основные разложения элементарных функций (Приложение 5), а также возможность почленного дифференцирования и интегрирования степенных рядов, разложить функции в ряд Маклорена и указать интервалы сходимости полученных рядов.