Среда – двухпроводная или коаксиальная линия

Если среда распространения – линия, тогда для нее, как показано на

рис. 2.1, справедливо применение так называемых «телеграфных» уравнений, описывающих распределение напряжения и тока вдоль линии:

(2.1)

(2.2)

В уравнениях (2.1) и (2.2) γ = (α + jβ) – коэффициент распространения волны в линии, состоящий из коэффициента затухания α и фазового коэффициента

Рис. 2.1. Распределение волны β = ω/v, где ω − угловая частота, а v −

напряжения в линии

скорость распространения сигнала в ли-

нии. Линия характеризуется первичными и вторичными параметрами. В ка-

честве первичных используются так называемые удельные параметры Δr,

ΔL, ΔC и Δg, которые оцениваются в единицах их измерения, приходящихся на один метр длины линии (Ом/м, Гн/м, Ф/м, См/м).

К вторичным параметрам относятся γ и W, зависящие от первичных:

(2.3)

(2.4)

Здесь W – волновое сопротивление линии, Ом.

Дифференциальные уравнения второго порядка с постоянным коэффициентом γ² имеют общие решения для U_x и I_x в любом сечении Х линии:

(2.5)

(2.6)

где A, B, C и D − постоянные интегрирования.

Связь между постоянными интегрирования определяется в результате подстановки решений (2.5) и (2.6) с учетом параметров (2.3) и (2.4) в уравнения (2.1) и (2.2):

(2.7)

(2.8)

В соответствии с решениями (2.5) и (2.6) вдоль линии распространяются две волны напряжения и тока: прямые (падающие) и отраженные. Согласно

рис. 2.1 направление отсчета в линии по оси Х ведется от нагрузки к генератору. Если предположить, что линия не имеет потерь энергии, т.е. α = 0, тогда решения (2.5) и (2.6) можно переписать в виде:

(2.9)

(2.10)

Отношение напряжения отраженной волны к напряжению падающей в сечении Х называется коэффициентом отраженной волны в линии Г_Х, при

Х = 0 Г_Х= Г₀ (коэффициент отражения в нагрузке Z_H):

(2.11)

Отношение напряжения к току в сечении Х определяет распределенное сопротивление линии в этом сечении

(2.12)

Из выражения (2.12) с учетом (2.11) можно получить формулы для коэффициентов отражения в различных сечениях линии Х и в нагрузке (Х = 0)

(2.13)

(2.14)

Наличие падающих и отраженных волн в линии приводит к неравномерному распределению результирующих волн напряжения и тока, характеризующихся узлами U_min, I_min и пучностями U_max и I_max.

Отношение напряжения в пучности линии к напряжению в узле называется коэффициентом стоячей волны напряжения К_стU, величина которого может находиться между единицей и бесконечностью. Величина, обратная коэффициенту стоячей волны, называется коэффициентом бегущей волны (КБВ).

Напряжения в пучностях и узлах можно представить их предельными значениями:

(2.15)

(2.16)

поэтому К_c_тU может быть выражен через коэффициент отражения Г₀:

(2.17)

а также через сопротивление в нагрузке:

(2.18)

Если нагрузка чисто активная Z_H = R_H, то выражение (2.18) упрощается:

(2.19)

(2.20)

Напряжения и токи на входе линии и в нагрузке R_н можно обозначить через U_вх, I_вх, U_н и I_н, тогда выражение для вычисления коэффициента полезного действия линии с учетом формул (2.5) и (2.6) можно представить в следующем виде:

(2.21)

После несложных преобразований выражение для расчета η можно привести к виду:

(2.22)

В реальных линиях с потерями энергии (α ≠ 0) выражение для расчета η можно переписать как реальную часть формулы (2.22):

(2.23)

Из выражения (2.23) видно, что потери в линии зависят не только от

погонного затухания волны α и длины линии Х = L, но и от коэффициента стоячей волны в ней. Так, при К_стU =1 (режим бегущей волны) потери в линии становятся минимальными, а коэффициент полезного действия – максимальным:

(2.24)

С ростом К_стU потери возрастают (рис. 2.2). При проектировании линий связи изначально закладывается режим бегущей волны, который обеспечивается равенством сопротивления нагрузки и волнового сопротивления линии: Z_н = W. При этом в линии будут минимальные потери энергии и максимальная дальность связи высокого качества. Индикатором режима бегущей волны является значение К_стU, равное единице. Затухание волны в линии оценивается в неперах (Нп) и децибелах (дБ).

Поскольку общее решение телеграфных уравнений (2.5) и (2.6) показывает, что распространение волны напряжения и тока в линии носит экспоненциальный характер, то при оценке потерь удобнее пользоваться натуральными логарифмами отношения мощностей на входе и на выходе линии:

(2.25)

Из выражения (2.25) очевидно, что затухание в 1 Нп соответствует ослаблению мощности сигнала в линии в е² раз.Однако непер – весьма крупная единица измерения, поэтому на практике чаще используют децибел (дБ), получаемый через десятичное логарифмирование отношения мощностей:

Рис. 2.2. График потерь

энергии в линии

(2.26)