Раздел II. Дифференциальное исчисление

Тема 3. Производная

Задачи (о касательной к плоской кривой и о мгновенной скорости), приводящие к понятию производной. Производная, ее геометрический, механический и экономический смысл. Уравнение касательной к плоской кривой. Дифференцируемость функции. Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции (необходимый признак дифференцируемости). Основные правила и основные формулы дифференцирования. Формулы производных основных элементарных функций. Производная сложной функции. Техника дифференцирования. Производные высших порядков ([1, § 7.1 – 7.7]; [2, § 7.1 – 7.3], или [3, § 7.1 – 7.7, 7.11, 7.12], или [4, §3.1 – 3.7, 3.11, 3.12]).).

Студенты должны знать две классические задачи, которые приводят к понятию производной: задачу о касательной к плоской кривой и задачу о скорости неравномерного прямолинейного движения. Их решение выявляет геометрический и механический смысл производной. Нужно четко знать определение производной, представлять ее экономический смысл ([1, § 7.6] или [3, § 7.10]), уметь составить уравнение касательной к графику любой функции y = f (x) в заданной точке.

Изучая материал этой темы, студенты знакомятся с необходимым условием дифференцируемости функции. Необходимо четко уяснить, что из дифференцируемости функции в некоторой точке следует ее непрерывность в этой точке. Обратная теорема не справедлива, так как существуют непрерывные функции, которые в некоторых точках могут не иметь производной ([1 или 5, § 7.2] или [3, § 7.2]).

Нужно, чтобы студенты, хорошо усвоив основные правила дифференцирования, умели находить производную суммы и произведения нескольких дифференцируемых функций, производную частного двух функций, пользоваться основными формулами дифференцирования, а также могли их вывести. Таблица основных формул приведена в учебнике ([1 или 5, или 3, § 7.5]) и на переднем форзаце. Наиболее важным для овладения техникой дифференцирования функций, и к тому же наиболее трудным, является правило дифференцирования сложной функции ([1, или 5, или 3, §7.4]). Знание этого правила способствует успешному освоению техники дифференцирования функций. Поэтому необходимо обратить особое внимание на примеры с решениями, в которых иллюстрируется его применение. Нужно усвоить понятия производных высших порядков и уметь их находить.

Тема 4. Приложения производной

Теорема Ролля* и Лагранжа. Правило Лопиталя (без вывода). Признаки возрастания и убывания функции. Экстремум функции. Необходимые и достаточные признаки экстремума (второй достаточный признак – без доказательства). Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке; их нахождение; решение задач. Исследование функции (область определения, четность и нечетность, интервалы монотонности и точки экстремума, поведение функции при и в точках разрыва, вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты, точки пересечения графика с осями координат) и построение ее графика. Квадратичная функция y = ax² + bx + c и ее график. Дробно-линейная функция y = (ax + b)/(cx + d) и ее график ([1 или 5, § 8.1 – 8.5, 8.7 – 8.9]; [2 или 6, § 8.1 – 8.3, 8.5], или [3, § 8.1 – 8.5, 8.7, 8.8, 8.10 – 8.12, 8.14], или [4, §4.1 – 4.5, 4.7, 4.8, 4.10 – 4.12, 4.14])

Одно из простейших приложений производной – раскрытие неопределенностей вида [0/0] или с помощью правила Лопиталя ([1, или 5, или 3, § 8.2]). Обратите внимание на то, что согласно формуле (8.3) предел отношения двух бесконечно малых или двух бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных, а не пределу производной частного этих функций.

Теоремы дифференциального исчисления являются обоснованием такой важной области приложения производных, как исследование функций. Студенты должны знать формулировки этих теорем, четко различая в них условие и заключение.

В учебнике приведена схема исследования функции для нахождения ее характерных точек и особенностей, по которым можно построить ее график ([1, или 5, или 3, § 8.8]). Выполнение пункта 6⁰ этой схемы, связанного с нахождением интервалов выпуклости функции и точек перегиба, не обязательно.