Замечания. 1) Ясно, что определение умножения вектора на число сформулировано для фиксированной системы координат

1) Ясно, что определение умножения вектора на число сформулировано для фиксированной системы координат, и требуется доказательство корректности определения (то есть того, что результат умножения вектора на число не зависит от выбора системы координат).

2) В определении не утверждается существование вектора , этот факт требует отдельного доказательства.

3) Интересен вопрос о геометрическом смысле умножения вектора на число; как это умножение выглядит для представителей векторов – для направленных отрезков.

4) При умножении вектора на число ноль получится нуль-вектор не зависимо от системы координат, и при умножении нуль-вектора на любое число получится нуль-вектор не зависимо от системы координат.

Лемма. Любой вектор можно умножить на любое число, причем в данной системе координат результат определен однозначно.