1. Уравнения равновесия
Вычисляем сумму всех внешних моментов, действующих на стержень, круглого поперечного сечения и приравниваем ее к нулю
.
С учетом получим реактивный момент в заделке
.
2. Определение выражений крутящих моментов методом сечений и построение эпюры
Стержень имеет два участка, на которых выражения крутящих моментов различны. Рассекаем стержень на первом и втором участках и рассматриваем в каждом из этих случаев одну из отсеченных частей (рис. 4.4 б).
а) в) г) |
| ||
Рис. 4.4 |
Для первого участка ()
,
для второго ()
.
Строим эпюру крутящих моментов. На первом участке откладываем отрицательное постоянное значение . На втором участке эпюра – прямая линия. Для ее построения достаточно иметь две точки: при и . Соответствующие моменты и . Наносим на график эти точки и проводим прямую линию (рис. 4.4 в). В сечениях, где действуют сосредоточенные моменты, имеют место скачки, равные по величине значениям этих моментов. Наибольший момент возникает в сечении :
|
|
.
3. Контроль правильности построенной эпюры с помощью дифференциальной зависимости Д. Журавского
,
позволяющей установить следующие правила:
на незагруженном участке эпюра постоянна;
на равномерно загруженном участке эпюра − прямая линия , возрастающая с ростом , если , и убывающая, если ;
в сечениях, где действует сосредоточенный момент, имеет место скачок на величину этого момента.
В нашем примере все правила контроля выполняются.
4. Расчет на прочность при кручении бруса
Условие прочности при кручении
.
Так как , то получаем
.
Если известны, то находим допустимое значение момента
.
При проектировочном расчете находим размер поперечного сечения, т.е. диаметр
.
В этом случае должны быть известны .
Третий тип расчета – проверочный.
5. Построение эпюры угловых перемещений (рис. 4.4 г)
Угловые перемещения находим по формуле
,
где − номер участка, − значение угла в начале -го участка, − крутящий момент на -м участке, − координата начала -го участка, − жесткость при кручении на i -м участке.
На первом участке (защемление).
Угол поворота
.
Эпюра – прямая линия. При , при получим .
На втором участке
,
или
.
График-эпюра − квадратичная парабола.
При получаем , при − .
Выпуклость параболы определяется знаком второй производной. Производные
Так как в задаче , то и выпуклость эпюры обращена кверху. Первая производная обращается в нуль при , что за пределами стержня, поэтому эпюра не имеет экстремума.
Помимо условия прочности иногда проверяется условие жесткости при кручении
|
|
,
где − относительный угол закручивания, − допускаемое значение относительного угла закручивания.
№3. Стальной консольный вал (рис. 4.5 а), имеющий участки с разными поперечными сечениями (круглое и прямоугольное), нагружен внешними крутящими моментами. Требуется: из условия прочности определить допускаемую величину крутящих моментов; построить эпюры касательных напряжений для круглого и прямоугольного поперечных сечений;
построить эпюру углов закручивания по длине вала.
Принять