Доказательство. Часть 10. Элементы аналитической геометрии

Часть 10. Элементы аналитической геометрии

Прямая линия

Уравнение вида F(x,y) = 0 называется уравнением линии L, если ему удовлетворяют координаты каждой точки этой линии и не удовлетворяют координаты каждой точки, не лежащей на этой линии.

Теорема. 1. Всякая прямая линия в системе координат хоу имеет уравнение вида Ах+Ву+С = 0. 2. Всякое уравнение вида Ах+Ву+С = 0 является уравнением некоторой прямой в системе координат хоу.

Доказательство.

Пусть (a)- произвольная прямая в системе координат хоу. Выберем на ней точку М₀ (x ₀;y₀) и возьмем любой ненулевой вектор (A;B), перпендикулярный прямой (а).

Вектор называется нормальным вектором прямой.

Очевидно, точка М(х;у) принадлежит прямой (а) тогда и только тогда, когда векторы и взаимно перпендикулярны.

Последнее утверждение равносильно равенству .

Но так как,

, ,

то

.

Следовательно,

Ах + Ву + С = 0, где С = -Ах_о -Ву_о.

Первая часть теоремы доказана.

Пусть

Ах + Ву + С = 0

-произвольное уравнение первой степени, и (х = х_о, у = у_о) - одно из его решений. Из уравнения

Ах + Ву + С = 0

вычтя тождество

Ах_о + Ву_о+С = 0,

получим равносильное уравнение

А(х-х_о)+В(у-у_о) = 0,

которое согласно первой части теоремы определяет прямую, проходящую через точку М_о (х_о;y₀) перпендикулярно вектору (A;B). Вторая часть теоремы доказана.