Программа по линейной алгебре

ИТОГОВЫЙ КОНТРОЛЬ ЗНАНИЙ: ЭКЗАМЕН.

Основные требования к итоговому контролю: знание основных понятий теории и умение их применять к решению практических задач

Программа по линейной алгебре

1. Множества и операции над ними. Способы задания множеств. Пространства.

2. Отображения. Композиция отображений. Взаимно-однозначные (биективные) отображения. Обратимые и обратные отображения.

3. Комплексные числа и алгебраические операции над ними. Комплексная плоскость, модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа.

4. Многочлены и алгебраические уравнения. Определения. Разложение многочлена. Основная теорема алгебры (теорема Гаусса) и ее следствия. Комплексные корни многочлена с действительными коэффициентами.

5. Системы линейных уравнений. Основные определения: решения, совместность, несовместность, определенность, неопределенность, равносильность систем. Однородные системы. Элементарные преобразования систем (теорема).

6. Методы Гаусса и Жордана-Гаусса решения систем линейных уравнений общего вида. Общее, частное, базисное решения; система, приведенная к единичному базису, базисные и свободные переменные. Ранг системы уравнений, максимальное число базисных решений. Жордановы исключения, их применения к решению систем линейных уравнений и отысканию базисных решений.

7. Матрицы и векторы. Основные определения. Линейные операции над векторами и матрицами. Частные виды матриц: квадратная, диагональная, единичная, строка, столбец. Произведение матриц и его свойства.

8. Операция транспонирования матриц и ее свойства.

9. Обратная матрица и ее построение (метод Жордана-Гаусса)

10. Матричный оператор. Построение матрицы по матричному оператору (лемма). Линейность матричного оператора. Композиция матричных операторов. Обратимость матричного оператора.

11. Матричная форма записи систем линейных уравнений и матричный способ ее решения.

12. Определители. Определители n -ого порядка: определение и основные свойства.

13. Разложение определителя по любому столбцу и дальнейшие свойства определителя. Теорема аннулирования. Транспонирование определителя. Определители специальных матриц.

14. Применение определителей к решению систем линейных уравнений. Теорема (формулы) Крамера.

15. Вырожденная, невырожденная матрицы. Критерий обратимости матрицы. Вычисление обратной матрицы через алгебраические дополнения.

16. Линейные векторные пространства. Определение векторного пространства. Аксиомы и следствия из них. Примеры.

17. Линейная комбинация, линейная оболочка векторов. Линейная зависимость системы векторов: определения и основные свойства.

18. Размерность и базис векторного пространства. Теоремы: о числе элементов базиса, о виде базиса в n -мерном пространстве, о дополнении до базиса. Критерий линейной независимости n векторов в .

19. Координаты вектора в данном базисе. Разложение вектора по базису. Линейные операции над векторами в координатной форме. Изоморфизм векторных пространств (определение, критерий).

20. Переход к новому базису. Матрица перехода от одного базиса к другому. Преобразование координат вектора при переходе к новому базису.

21. Подпространства векторного пространства: определения, примеры.

22. Линейные операторы. Определение линейного оператора, примеры. Образ и ядро линейного оператора, основные свойства.

23. Теорема о структуре множества решений неоднородного линейного уравнения, следствия.

24. Матрица линейного оператора. Однозначное соответствие между матрицей и оператором.

25. Операции над линейными операторами, действующими в фиксированном пространстве: сумма, умножение на число, произведение. Обратный оператор и его матрица.

26. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Определение, процедура их отыскания. Приведение матрицы линейного операторы к диагональному виду. Линейная независимость собственных векторов, соответствующих различным собственным значениям.

27. Евклидово пространство. Скалярное произведение, примеры скалярного произведения в . Евклидово векторное пространство. Норма вектора. Неравенство Коши-Буняковского, неравенство треугольника. Угол между векторами. Ортогональные и ортонормированные базисы. Процедура ортогонализации базиса в евклидовом пространстве. Скалярное произведение и норма вектора в ортонормированном базисе.

28. Ортогональные подпространства, ортогональность их базисных векторов. Ортогональные дополнения и их свойства.

29. Линейные операторы в евклидовом пространстве. Самосопряженные операторы и их матрицы. Свойства самосопряженного оператора.

30. Линейные функционалы: определения, примеры. Теоремы об общем виде линейных функционалов.

31. Квадратичные формы: определения, примеры. Квадратичная форма в , ее матрица. Приведение квадратичной формы к сумме квадратов (каноническому виду). Знакоопределенность квадратичных форм.

32. Линейные геометрические объекты. Гиперплоскость в : общее уравнение; нормальный вектор и его свойства, частные виды уравнений. Прямая в : параметрическое, каноническое, общее уравнение; уравнение по двум точкам.

33. Прямая и гиперплоскость в : углы, условия параллельности и ортогональности гиперплоскостей, прямых и друг с другом.

34. Расстояния между двумя точками, от точки до гиперплоскости. Уравнение отрезка и его середина.

35. Прямая линия на плоскости: общее уравнение и с угловым коэффициентом. Построение прямой линии по общему уравнению.

36. Гиперповерхности уровня линейных функционалов и квадратичных форм.

37. Выпуклые множества. Системы линейных неравенств Линейные задачи оптимизации, графический способ их решения.

.

Список рекомендуемой литературы

1. Ильин В.А., Поздняк Э.Г. Линейная алгебра. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1974. – 296 с.

2. Петрова В.Т. Лекции по алгебре и геометрии: учебник для вузов: в 2х ч. – М.: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС, 1999. – Ч.1. – 312 с.

3. Петрова В.Т. Лекции по алгебре и геометрии: учебник для вузов: в 2х ч. – М.: Гуманит. изд. центр ВЛАД ОС, 1999. – Ч.2. – 344 с.

4. Воеводин В.В. Линейная алгебра. – М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1980. – 400 с.

5. Мальцев А.И. Основы линейной алгебра. – М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1975. – 400 с.

6. Кострикин А.И. Введение в алгебру. – М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1977. – 496 с.

7. Беклимишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – 4-е изд.– М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1980. – 336 с.

8. Солопова О.Г. Линейная алгебра. Учебное пособие. Ростов-на-Дону: РГЭУ (РИНХ), 2004, - 190 с.

9. Левендорский С.З. Курс аналитической геометрии (метод. указ.) – Ростов-на-Дону: РИНХ, 1989. – 38 с.

10. Кудрявцев В.А., Демидович Б.Л. Краткий курс высшей математики. – М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1985.

11. Сборник задач по математике для втузов. Линейная алгебра и основы математического анализа. Под ред. Ефимова А.В., Демидовича Б.П. – М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1981. – 464 с.

12. Карпелевич Ф.И., Садовский Л.Е. Элементы линейной алгебры и линейного программирования. – М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1965. – 274 с.

13. Батищева Г.А., Левендорский С.З. Системы линейных уравнений. Матрицы и векторы (методические указания). Ч. 1 – Ростов-на-Дону: РИНХ, 1995. – 45 с.

14. Батищева Г.А., Левендорский С.З. Системы линейных уравнений. Определители. Ч. 2. – Ростов-на-Дону: РГЭА, 1995.

15. Батищева Г.А.,Кисилева Н.Н., Левендорский С.З. Множества. Отображение множеств. Методические указания по изучению курса высшей математики.– Ростов-на-Дону: РИНХ, 1991.

16. Батищева Г.А., Левендорский С.З. Линейные операторы (методические указания). – Ростов-на-Дону: РИНХ, 1992.

17. Батищева Г.А., Левендорский С.З. Евклидово пространство. Линейные функционалы и квадратичные формы (методические указания).– Ростов-на-Дону: РИНХ, 1992.