Контрольные задания. Задание 1. Решить систему уравнений по формулам Крамера

Задание 1. Решить систему уравнений по формулам Крамера

Задание 2. Решить систему уравнений матричным способом

Задание 3. Решить систему уравнений методом исключения неизвестных (методом Жордана-Гаусса); найти базисное решение системы.

Задание 4. Показать, что векторы а₁, а₂, а₃ образуют базис в R ³ и разложить вектор а₄ по этому базису.

31. а₁ = (2; 1; 3), а₂ = (-4; -2; -1), а₃= (3; 4; 5), а₄ = (1; 3; 2).

32. а₁ = (2; 1; 4), а₂ = (-3; 5; 1), а₃= (1; -4; -3), а₄ = (2; -5; -4).

33. а₁ = (2; 3; 1), а₂ = (-1; 2; -2), а₃= (1; 2; 1), а₄ = (2; -2; 1).

34. а₁ = (1; 2; 1), а₂ = (2; -1; 3), а₃= (3; -1; 4), а₄ = (5; 1; 6).

35. а₁ = (2; 2; -1), а₂ = (0; 4; 8), а₃= (-1; -1; 3), а₄ = (1; 1; 2).

36. а₁ = (1; -2; 1), а₂ = (1; 1; 1), а₃= (-1; 1; 1), а₄ = (2; 3; 6).

37. а₁ = (3; -2; 2), а₂ = (-1; 1; -1), а₃= (0; 1; 4), а₄ = (5; 0; 15).

38. а₁ = (5; 1; 4), а₂ = (0; -1; 1), а₃= (4; 2; 2), а₄ = (1; 0; 1).

39. а₁ = (2; 3; 1), а₂ = (2; 2; 1), а₃= (-1; -3; -2), а₄ = (4; 7; 3).

40. а₁ = (2; -1; 4), а₂ = (1; -2; 2), а₃= (-1; 2; 1), а₄ = (-4; 14; 7).

Задание 5. Дана матрица А линейного оператора в . 1). Построить матричный оператор, заданный матрицей А. 2). Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора (матрицы). 3). Привести квадратичную форму, заданную матрицей А в , к каноническому виду, а также найти ортонормированный базис, в котором она имеет этот вид. 4). Построить линии уровня квадратичной формы.

41. А= .	46. А= .
42. А= .	47. А= .
43. А= .	48. А= .
44. А= .	49. А= .
45. А= .	50. А= .

Задание 6. Дан треугольник с вершинами A(x ₁, y ₁), B(x ₂, y ₂), C(x ₃, y ₃). Найти:

(а) уравнение стороны АС;

(б) уравнение высоты АК;

(в) длину средней линии MP(параллельно стороне BC);

(г) угол ^ ;

(д) точку пересечения высот треугольника.

51. А (-4,0), B (-2,6), C (2,2).

52. A (-3,0), B (-1,6), C (3,2).

53. A (-2,0), B (0,6), C (4,2).

54. A (-1,0), B (1,6), C (5,2).

55. A (0,0), B (2,6), C (6,2).

56. A (1,0), B (3,6), C (7,2).

57. A (2,0), B (4,6), C (8,2).

58. A (3,0), B (5,6), C (9,2).

59. A (4,0), B (6,6), C (10,2).

60. A (-5,0), B (-1,6), C (1,2).

Задание 7. Найти:

а) уравнение прямой , проходящей через точки А(x ₁, y ₁, z ₁); B(x ₂, y ₂, z ₂).

б) уравнение плоскости , проходящей через точку С(0, y ₃, 1) перпендикулярно прямой .

в) уравнение плоскости, проходящей через три точки А(x ₁, y ₁, z ₁); B(x ₂, y ₂, z ₂), С(0, y ₃, 1)

г) точку пересечения прямой с плоскостью H: a x +b y +c z +1=0.

61. A(1,2,3), B(3,4,4), C(0,-3,1), H: 3 x + y +2 z +1=0.

62. A(1,1,2), B(3,2,3), C(0,-4,1), H: 2 x + y + z +1=0.

63. A(1,1,1), B(3,3,2), C(0,-4,1), H: x + y + z +1=0.

64. A(1,1,3), B(3,2,4), C(0,-4,1), H: 3 x + y + z +1=0.

65. A(2,1,1), B(5,2,2), C(0,-4,1), H: x +2 y + z +1=0.

66. A(2,2,1), B(5,4,2), C(0,-3,1), H: x +2 y +2 z +1=0.

67. A(3,2,1), B(7,4,2), C(0,-3,1), H: x +3 y +2 z +1=0.

68. A(3,2,2), B(7,4,2), C(0,-3,1), H: 2 x +3 y +2 z +1=0.

69. A(4,1,1), B(9,2,2), C(0,-4,1), H: x +4 y + z +1=0.

70. A(4,2,1), B(9,4,2), C(0,-3,1), H: x +4 y +2 z +1=0.

Задание 8. Решить графическим методом задачу линейной оптимизации

81. 82.

83. 84.

85. 86.

87. 88.

89. 90.