По определению частотных характеристик имеем

W(jω) = (U _вых / U _вх) ℮ ^jφ;

A(ω) = U_вых / U_вх ;

arg W(jω) = φ(ω). (15.16)

Для RC - цепи получим

W(jω) = = . (15.17)

A() = ; . (15.18)

Используя формулу Эйлера, удалось упростить отыскание частотных характеристик RC – цепи.

Однако решим задачу до конца: определим Uвых(t).

Для Uвх(t)= Uвх e имеем

U _{вых .} (15.19)

Для U _вх (t)=U _вх получим комплексно сопряженное решение

U _{вы х} . (15.20)

Воспользовавшись принципами суперпозиции и гомогенности, а также формулой Эйлера, получим:

U _вх (t)= (15.21)

где Uвых = A (ω)Uвх; φ= - arctg

Как следует из выражений (15.7) и (15.15), частотная передаточная функция может быть получена без проведенных выкладок формальной заменой на jω или, если имеется передаточная функция, то формальной заменой р на jω.

Рассмотрев нахождение реакции звена (системы) на гармонический входной сигнал, определим выражение для отыскания реакции Хвых(t) на произвольный входной сигнал Хвх(t)

В соответствии с уравнением (32) имеем

, (15.22)

отсюда, зная W(jω), можно записать:

. (15.23)

Следует отметить, что методы исследования АСР по их частотным характеристикам нашли в настоящее время широкое распространение. Они используются как для синтеза АСР, так и для приближенного построения переходных процессов в линейных системах. Частотные методы получили развитие при исследовании нелинейных и импульсных систем, а также для АСР с цифровым и вычислительными комплексами.

Существенное значение имеет и то обстоятельство, что частотные характеристики могут быть получены экспериментально. Это позволяет уточнять аналитические модели и пользоваться экспериментальными зависимостями в том случае, когда нахождение модели аналитически сопряжено с большими трудностями.

Вопросы для самоконтроля

1. В чем заключается метод Фурье и какие задачи в теории автоматического регулирования решаются с помощью данного метода?

2. Каковы преимущества и недостатки частотных методов исследования?

3. В чем заключается экспериментальный и аналитический методы получения частотных характеристик?

4. Находит ли применение принцип суперпозиции при использовании частотных методов?

5. Какие частотные характеристики известны и о чем они позволяют судить?