Исследование функции на экстремум

Из определения (см. §6.1) следует, что понятие экстремума имеет локальный (местный) характер. Неравенство f (x) < f (x ₀) (f (x) > f (x ₀)) может, не выполняться для всех значений x, входящих в область определения функции, оно должно выполняться лишь в некоторой окрестности точки x ₀. В области определения функция может иметь несколько локальных экстремумов.

Необходимое условие экстремума

g Если в некоторой точке x ₀Î(a; b) функция y = f (x), непрерывная на интервале (a; b), имеет экстремум, то в самой точке x ₀ производная данной функции равна нулю или не существует.

4Действительно, возможны только два случая: 1) в точке x ₀ существует производная функции f (x), тогда по теореме Ферма f¢ (x ₀) = 0, 2) в точке x ₀ производная функции не существует.3

2 Говорят, что в точке x ₀Î(a; b) выполнено необходимое условие экстремума функции y = f (x), если в точке x ₀ первая производная равна нулю, или не существует.

2 Точки, в которых выполнено необходимое условие экстремума называют критическими точками первого рода или точками, подозрительными на экстремум. Те критические точки, в которых f¢ (x) = 0, называют стационарными. В стационарных точках касательная, проведенная к графику функции, параллельна оси OX.

Замечание. Необходимое условие экстремума не является достаточным. Например, в точке x = 0 выполнено необходимое условие экстремума функции
y = x ³ (f¢ (0) = 0). Однако, в точке x = 0, как и в остальных точках числовой оси, функция возрастает (и, следовательно, не имеет экстремума). С более сложными примерами мы познакомимся позднее.