Стационарные состояния

Рассмотрим класс квантовых систем, с независящим от времени гамильтонианом. Для таких систем решение уравнения (2.7) можно искать с помощью метода разделения переменных. Положим

Подстановка такой функции в уравнение (2.8), дает

Разделяя переменные, имеем

Отсюда временная составляющая волновой функции, равна

(2.9)

а волновая функция , зависящая только от пространственных переменных, удовлетворяет уравнению

(2.10)

Из вида (2.10) следует, что это уравнение представляет собой уравнение для определения собственных значений и собственных функций оператора энергии Таким образом, допустимое множество значений параметра образует спектр энергии квантовой системы.

Частное решение уравнения Шредингера с независящим от времени гамильтонианом, имеет вид

(2.11)

где подчиняется уравнению (2.10). Уравнение (2.10) называется стационарным уравнением Шредингера, а состояния квантовой системы, описываемые волновыми функциями вида (2.11) – стационарными состояниями. Последнее название связано с тем, что плотность вероятности

не зависит от времени .

Среднее значение физической величины в стационарном состоянии с волновой функцией также не зависит от времени

Общее решение рассматриваемой задачи будет представлять собой суперпозицию частных решение вида (2.11). Если спектр энергии имеет и дискретную и непрерывную составляющие, т.е.

то общее решение уравнения Шредингера принимает вид

(2.12)

где - коэффициенты. Для задачи Коши с начальным условием коэффициенты равны

(2.13)

Следует отметить, что для задачи с вырождением в представлении (2.12) для волновой функции под квантовыми числами и , по которым проводится суммирование и интегрирование, следует понимать наборы квантовых чисел, включая энергию, полностью определяющих квантовые состояния системы.

В качестве примера определим стационарные состояния для одномерного движения (вдоль оси ) свободной квантовой частицы. Гамильтониан системы

(2.14)

Стационарное уравнение Шредингера имеет вид

(2.15)

Так как гамильтониан коммутирует с оператором импульса, то операторы и имеют общую систему собственных функций. Нетрудно проверить, что собственные функции оператора импульса

(2.16)

удовлетворяют уравнению (2.15), т.е. является собственной функций оператора . Таким образом, в соответствие с (2.11), волновые функции стационарных состояний для свободной частицы имеют вид