Пусть свойства системы инвариантны относительно группы непрерывных преобразований координат
где параметр. Закон преобразования волновой функции принимает вид
Линейные операторы реализуют представление группы .
Рассмотрим группу трансляций
где постоянный вектор. Имеем
Разложим функцию в ряд по степеням
Или
оператор импульса.
Таким образом,
т.е. оператор импульса является генератором группы трансляций в пространстве волновых функций.
Для свободной частицы оператор импульса коммутирует с гамильтонианом , так, что импульс частицы есть интеграл движения.
Рассмотрим группу вращений в трехмерном пространстве (обозначение SO (3)). Закон преобразования в этом случае имеет вид
где угол поворота вокруг оси, направление которой задано единичным вектором , а оператор момента импульса.
Таким образом, оператор момента импульса является генератором группы вращений SO (3). В предыдущем разделе было установлено, что для частицы в центральном поле момент импульса сохраняется, т.е. является интегралом движения.