Элементы математической статистики

Пусть имеетсяслучайная величина Х сфункцией распределения F (x). Набор значений x ₁, x ₂, …, x_n, случайной величины Х,полученных в результате n опытов, называется выборкой объема n. Предполагается, что опыты произведены в одинаковых условиях и независимо.

Выборка, расположенная в порядке возрастания, называется вариационным рядом.

Если выборка объема n содержит r различных элементов x ₁, x ₂, …, x_r, причем элемент x_i встречается m_i раз, то число m_i называется частотой элемента x_i.

Статистическим рядом называется последовательность пар (x_i, m_i). Обычно статистический ряд записывается в виде таблицы, первая строка которой содержит элементы x_i, а вторая - их частоты m_i.

Полигоном частот выборки называется ломаная с вершинами в точках (x_i, m_i).

Пусть теперь Х – непрерывная случайная величина с неизвестной плотностью вероятности f (x). Для оценки f (x) по выборке x ₁, x ₂, …, x_n разобьем область значений Х на интервалы h_i (i =1,2,…, s). Обозначим через x_i * середины интервалов, а через ν _i - число элементов выборки, попавших в интервал h_i. Тогда - оценка плотности вероятности в точке x_i *. В прямоугольной системе координат построим прямоугольники с основаниями h_i и высотами . Полученная таким образом фигура называется гистограммой выборки.

Пусть x ₁, x ₂, …, x_n - наблюдавшиеся значения случайной величины Х. Точечной оценкой для M (X) служит выборочное среднее:

.

Оценкой для D (X) является выборочная дисперсия:

.

Задание. Для заданной выборки: а) построить полигон частот и гистограмму;

б) найти выборочную среднюю и дисперсию.

Решение.

1) Построим полигон частот заданной выборки. Для этого определим вершины (x_i, m_i) ломаной: (1,10); (2,5); (3,10); (4,8); (5,12); (6,5).

Следовательно, имеем:

2) Для построения гистограммы выборки составим следующую таблицу:

Номер интервала i	Границы интервала xi - xi +1	Длина интервала hi	Число элементов выборки, попавших в интервал ν i	Высоты прямоугольников
	0,5-1,5			0,2
	1,5-2,5			0,1
	2,5-3,5			0,2
	3,5-4,5			0,16
	4,5-5,5			0,24
	5,5-6,5			0,1

Следовательно, имеем:

3) Вычислим теперь выборочное среднее:

.

4) Вычислим выборочную дисперсию: