Расчет нормальных сечений на основе нелинейной деформационной модели

3.72. При расчете по прочности усилия и деформации в нормальном сечении определяют на основе нелинейной деформационной модели, использующей уравнения равновесия внешних сил и внутренних усилий в сечении элементов, а также следующие положения:

- распределение относительных деформации бетона и арматуры по высоте сечения элемента принимают по линейному закону (гипотеза плоских сечений, см. черт. 3.39);

- связь между осевыми сжимающими напряжениями бетона s _b и относительными его деформациями e _b принимают в виде двухлинейной диаграммы (черт. 3.37). согласно которой напряжения s _b определяются следующим образом:

при 0 £ e _b £ e _{b 1, red} s _b = E_b,red e _b

при e _{b 1, red} < e _b £ e _{b 2} s _b = R_b;

где E_b,red - приведенный модуль деформации бетона, равный

E_b,red = R_b /e _{b 1, red} ;

e _{b 1, red} = 0,0015;

e _{b 2} = 0,0035;

R_b - см. табл. 2.2;

- сопротивление бетона растянутой зоны не учитывается (т.е. принимается s _b = 0) за исключением расчета бетонных элементов, указанных в п. 1.4, б, а также бетонных элементов, в которых не допускаются трещины; в этих элементах связь между осевыми растягивающими напряжениями бетона s _bt и относительными его деформациями также принимаются в виде двухлинейной диаграммы с заменой e _{b 1, red} на e _{bt 1, red} 0,0008; e _{b 2}на e _{bt 2}= 0,00015; E_b,red на E_bt,red = R_bt /e _{bt 1, red}, где R_bt - см. табл. 2.2;

- связь между напряжениями арматуры s _s и относительными ее деформациями e _s принимают в виде двухлинейной диаграммы (черт. 3.38), согласно которой напряжения s _s принимают равными:

при 0 < e _s < e _{s 0} s _s = e _sE_s;

при e _{s 0} £ e _s < e _{s 2} s _s = R_s,

где e _{s 0} = R_sE_s;

R_s - см. табл. 2.6;

Е_s = 2×10⁵ МПа;

e _{s 2}= 0,025.

Черт. 3.37. Двухлинейная диаграмма состояния сжатого бетона	Черт. 3.38. Диаграмма состояния растянутой арматуры

3.73. Переход от эпюры напряжений в бетоне к обобщенным внутренним усилиям рекомендуется осуществлять с помощью процедуры численного интегрирования по нормальному сечению. Для этого нормальное сечение в направлении плоскости изгиба (нормальной нейтральной оси) разделяется на участки малой ширины, напряжения в которых принимают равномерно распределенными и соответствующими деформациям на уровне середины ширины участка.

В общем случае положение нейтральной оси и максимальные деформации (черт. 3.39) определяют из уравнений равновесия внешних и внутренних усилий:

М_х = Ss _biA_biZ_bxi + Ss _sjA_sjZ_sxj; (3.144)

М_y = Ss _biA_biZ_byi + Ss _sjA_sjZ_syj; (3.145)

N = Ss _biA_bi + Ss _sjA_sj. (3-146)

где М_х и M_y - моменты внешних сил относительно выбранных координатных осей, действующих в плоскости осей соответственно х и у;

A_bi, Z_bxi, Z_byi, s _bi - площадь, координаты центра тяжести i -го участка бетона и напряжение на уровне его центра тяжести.

A_sj, Z_sxj, Z_syj, s _sj - площадь, координаты центра тяжести j -гo стержня арматуры и напряжение в нем.

Черт. 3.39. Эпюры деформации и напряжений в сечении, нормальном к продольной оси железобетонного элемента, в общем случае расчета по прочности

а) - двухзначная эпюра деформаций

б) - однозначная эпюра деформаций

Напряжения s _bi и s _sj определяются в соответствии с диаграммами на черт. 3.37 и 3.38.

Растягивающие напряжения арматуры s _sj и бетона s _bi а также продольную растягивающую силу N рекомендуется учитывать в уравнениях (3.144) - (3.146) со знаком "минус".

Координатные оси х и у рекомендуется проводить через центр тяжести бетонного сечения.

3.74. Расчет нормальных сечений железобетонных элементов по прочности производят из условий

e _{b ,max} £ e _b,ult; (3.147)

|e _{s ,max}| £ e _s,ult, (3.148)

где e _{b ,max} и e _{s ,max} - относительные деформации соответственно наиболее сжатого волокна бетона и наиболее растянутого стержня арматуры от действия внешних нагрузок, определяемые из решения уравнений (3.144) - (3.146);

e _b,ult и e _s,ult - предельные значения относительных деформаций соответственно сжатого бетона и растянутой арматуры, принимаемые согласно п. 3.75.

Для изгибаемых и внецентренно сжатых бетонных элементов, в которых не допускаются трещины, расчет производится с учетом работы растянутого бетона в поперечном сечении элемента из условия

|e _{bt ,max}| £ e _bt,ult, (3.149)

где e _{bt ,max} - относительная деформация наиболее растянутого волокна бетона, определяемая из решения уравнений (3.144) -(3.146);

e _bt,ult - предельное значение относительной деформации растянутого бетона, принимаемое согласно п. 3.75.

3.75. Предельное значение относительных деформаций бетона e _b,ult (e _bt,ult) принимают при двухзначной эпюре деформаций (сжатие и растяжение) в поперечном сечении элемента равными e _{b 2} (e _{bt 2})(см. п. 3.72).

При внецентренном сжатии или растяжении элементов и распределении в поперечном сечении элемента деформаций бетона одного знака предельные значения относительных деформаций бетона e _b,ult (e _bt,ult) определяют в зависимости от отношения относительных деформаций бетона на противоположных сторонах сечения по формулам

, (3.150)

. (3.151)

Предельное значение относительной деформации растянутой арматуры e _s,ult принимают равным 0,025.

3.76. Расчет на основе нелинейной деформационной модели производится с помощью компьютерных программ.

При действии в нормальном сечении двух моментов М_х и М_у по обеим координатным осям х и у и продольной сжимающей силы компьютерную программу рекомендуется составлять на основе следующего алгоритма:

1. Задаются направлением нейтральной оси: в 1-м приближении это направление определяется как для упругого материала, т.е. принимается угол наклона нейтральной оси к оси y равным

.

2.Определяют характер эпюры деформаций путем сравнения внешней продольной силы N и внутреннего усилия N_c, определенного по формуле (3.146) при значениях e _b в крайних точках, равных e _{b 2}и 0. При N > N_c - эпюра однозначная, при N < N_с - эпюра двухзначная.

3. При двухзначной эпюре деформаций последовательными приближениями подбирают такую высоту сжатой зоны х,при которой выполняется равенство (3.146); при этом в крайней сжатой точке принимается e _b = e _{b 2}, деформации сжатого бетона каждого i -го участка принимаются равными e _bi = e _{b 2} y_bi / x, а деформации каждого j -го стержня арматуры - e _si = e _{b 2} y_sj / x, где y_bi и y_sj - расстояния от нейтральной оси до центра тяжести соответственно i -го участка бетона и j -го стержня арматуры. В случае, если e _{s ,max} > 0,025, принимается e _{s ,max} = 0,025, и тогда e _bi = e _{s ,max} y_bi /(h ₀ - х),e _sj = e _{s ,max} y_si /(h ₀ - х),где h ₀ - расстояние между наиболее растянутым стержнем арматуры и наиболее сжатой точкой бетона в направлении, нормальном нейтральной оси. Деформации растянутой арматуры принимаются со знаком "минус".

4. При однозначной эпюре деформаций последовательными приближениями подбирают такое отношение деформаций в крайних точках a = e₁/e₂ < 1, при котором выполняется равенство (3.146); при этом в крайней сжатой точке всегда принимается деформация e _b,ult, определенная по формуле (3.150), деформации сжатого бетона каждого i -го участка принимаются равными , а деформации каждого j -го стержня - где y_i и y_si - расстояния от наименее сжатой точки до центра тяжести соответственно i -го участка бетона и j -го стержня арматуры в направлении, нормальном нейтральной оси, h - см. черт. 3.39, б.

5. По формулам (3.144) и (3.145) определяются моменты внутренних усилий М_x,ult и М_y,ult Если оба эти момента оказываются больше или меньше соответствующих внешних моментов М_х и М_у относительно тех же осей, то прочность сечения считается обеспеченной или необеспеченной.

Если один из моментов (например М_y,ult) меньше соответствующего внешнего момента (т.е. М_y,ult < М_y), а другой больше (т.е. М_x,ult > М_х), задаются другим углом наклона нейтральной оси q(большим, чем ранее принятый) и вновь проводят аналогичный расчет.

При действии растягивающей силы или при ее отсутствии расчет можно производить аналогичным образом. При расчете бетонных элементов с учетом работы растянутого бетона значения e _{b 2} заменяются на e _{bt 2}, а e _b,ult на e _bt,ult (см. пп. 3.72 и 3.75).