2015-04-01
860
Бесконечно большой величиной называется величина, абсолютное значение которой неограниченно возрастает.
! Примеры: Величины n, n², n3 являются бесконечно большими величинами, при n ® ¥; 
- при x ® 0, tgx - при x ® p/2: 
; 
; 
.
Функция f(x) есть бесконечно большая величина при x ® a, если абсолютное значение f(x) остается большим любого заранее данного положительного числа N, всякий раз как абсолютное значение разности x – a меньше некоторого положительного числа d (зависящего от N).
Бесконечно большая величина не имеет предела по определению, ибо никак нельзя сказать, что «разность между f(x) и ¥ остается меньшей заранее данного положительного числа». Таким образом, введение беcконечного предела расширяет понятие предела. В отличие от бесконечного предела предел, определенный ранее, называется конечным.
Функция yn называется бесконечно большой величиной высшего порядка по сравнению с zn, если предел их отношения ¥.
Из этого свойства вытекает следующее правило. При вычислении пределов, содержащих сумму yn и zn, где функция yn является бесконечно большой величиной высшего порядка по сравнению с zn, функцию zn можно пренебречь по сравнению с yn.
|
|
|
@ Задача 2. Найти предел последовательности 
.
Решение: Если непосредственной подстановкой n попытаться найти предел последовательности, то мы получим неопределенность вида 
. Здесь термин неопределенность применяется в том смысле, что сразу невозможно сказать к какому пределу стремится последовательность. Определение предела называется раскрытием неопределенности. В данном случае неопределенность можно раскрыть с учетом вышесказанного. Так как n ² является бесконечно большой величиной высшего порядка по сравнению с n и 2, то последние члены в числителе можно пренебречь. То же самое относится и к знаменателю. Итак
.
