Ограничения вида (5.1) являются наиболее типичным способом задания допустимого множества . При некоторых видах ограничений допустимое множество может оказаться пустым (рис. 5.1.). В этом случае ограничения
x 1 x 2 >1
x 12+ x 22 1
будут называться несовместимыми.
x 2
х 1 х 2>1
x 1
x 12+ x 22 1
Рис. 5.1. Пустое множество
Рассмотренные далее методы оптимизации применимы в том случае, если допустимое множество является выпуклым.
Определение 5.3. Множество точек называется выпуклым, если вместе с любыми двумя его точками ему принадлежит и отрезок, соединяющий эти точки.
Определение 5.4. Отрезком, соединяющим две точки и , называется множество точек , удовлетворяющих уравнению = t +(1- t) , где 0< t <1.
Теорема 5.1. Пересечение выпуклых множеств есть выпуклое множество.
На рис. 5.2. показаны примеры выпуклого (рис. 5.2а) и невыпуклого (рис. 5.2б) множеств.
х 12+ х 22£1 х 12+ х 22 1
x 2 х 1 х 2³1 x 2 x 1 x 2<1
0 x 1 0 x 1
а) б)
Рис. 5.2. Множества: выпуклое а); невыпуклое б).