Интегрирование по частям. Из дифференциального исчисления известно, что если u и v - дифференцируемые функции от x, то

Из дифференциального исчисления известно, что если u и v - дифференцируемые функции от x, то

d(uv)=udv+vdu

Отсюда

udv=d(uv)-vdu

Интегрируя обе части этого равенства, имеем

или

Интегрированием по частям называется интегрирование с помощью полученной формулы.

Основные случаи, когда применяется данный способ интегрирования:

1) подинтегральная функция содержит произведение многочлена от x на показательную функцию от x или произведение многочлена от x на sin(x) или cos(x), или произведение многочлена от x на ln(x);

2) подинтегральная функция представляет собой одну из обратных тригонометрических функций arcsin(x), arccjs(x) и т.д.;

3) подинтегральная функция есть произведение показательной функции на sin(x) или cos(x).

Пример: необходимо найти интеграл

Положим u = x, dv = sin(x)dx. Тогда du = dx, v = -cos(x). Отсюда