Получение критериев подобия из анализа математической модели

Течение вязкой несжимаемой жидкости с постоянной вязкостью в поле силы тяжести описывается математической моделью (5.6), базирующейся на системе дифференциальных уравнений (5.5), (2.18):

которая дополняется условиями однозначности (4.5), (4.6).

Конкретизируем задачу. Рассмотрим нестационарное течение вязкой несжимаемой жидкости в горизонтальном, прямолинейном и достаточно длинном канале. В этом случае можно считать, что скорость потока направлена вдоль оси канала и рассматривать задачу как одномерную, так что из трех компонент скорости остается только одна. Направим ось х ₁ вдоль трубы, тогда , и .

В этом случае математическая модель (5.6) может быть приведена к виду

(7.14)

Получим критерии подобия из анализа этой системы уравнений методом преобразований подобия [АВД].

Допустим, что имеется еще одна геометрически подобная система, в которой протекает физически подобный процесс течения среды. В соответствии с теоремой Кирпичева - Гухмана, подобные процессы описываются одинаковыми по форме дифференциальными уравнениями и условиями однозначности. Поскольку при протекании физически подобных явлений поля однородных физических величин отличаются только масштабом, то все физические величины, входящие в уравнения для второй системы (индекс "2"), могут быть выражены через одноименные физические величины первой системы (индекс "1") умножением их на соответствующую константу подобия. Обозначив константу геометрического подобия , константу подобия по скорости и т.д., уравнения для второй системы можно записать в виде:

(7.15)

Сопоставим уравнения движения, записанные для первой и второй системы. Мы рассматриваем физически подобные процессы течения, а, следовательно, они должны описываться одинаковыми по форме уравнениями. Это означает, что комплексы образованные константами подобия в уравнениях, входящиз в систему (7.15) должны сократиться. Это возможно только в случае, когда выполнено условие

Сравнивая эти равенства попарно, можно получить шесть различных безразмерных комплексов (число сочетаний из 4 по 2). Однако, в соответствии с - теоремой, для перехода к безразмерному описанию рассматриваемого явления достаточно трех, поэтому получим только три критерия подобия, широко используемые в расчетной практике:

, откуда ;

, откуда

, откуда .

Заменяя в полученных выражениях константы подобия отношением соответствующих физических величин, получаем

или ,

или .

Полученные критерии (числа) подобия соответственно называются:

- числоСтрухаля (или гомохронности);

- число Рейнольдса;

- число Эйлера,

где L - характерный линейный размер системы.

Уравнение неразрывности и условия однозначности в данном случае критериев подобия не дают.

В полученные числа подобия входит характерный линейный размер , т. е. размер, который должен быть принят за масштаб линейных размеров. Теория подобия однозначно не определяет, какой размер должен быть принят за определяющий, поэтому, если в граничные условия входит несколько линейных размеров, за характерный обычно принимают тот, который в наибольшей степени отвечает физической сущности процесса и удобен при проведении расчетов, или их комбинацию. Например, при расчете течений в трубах с круглым поперечным сечением захарактерный линейный размер естественно принять внутренний диаметр этой трубы. При расчете течений в каналах с некруглым поперечным сечением захарактерный линейный принимают эквивалентный диаметр (где - площадь поперечного сечения канала, – его периметр).

Из рассмотренной задачи видно, что количество критериев подобия, которое можно получить из математической модели процесса, превышает то количество, которое требуется для описания этого процесса в безразмерном виде. Кроме того допускается несколько изменять вид критериев подобия, например, можно перемножить или разделить два критерия друг на друга, получив таким образом новый критерий подобия.

Целесообразность выбора критериев подобия определяется физическим смыслом и возможностью определения (экспериментального и расчетного) входящих в них величин.

Рассмотрим физический смысл полученных критериев подобия, которые называют критериями гидродинамического подобия.

Критерий Рейнольдса представляет собой отношение сил инерции (пропорциональных WL) и сил вязкости (пропорциональных ν). Этот критерий позволяет определить, какая форма течения устойчива в конкретных условиях.

Критерий Эйлера представляет собой отношение статического давления к скоростному напору. Поскольку при расчете течений несжимаемых сред изменение давления является более существенной величиной, чем абсолютное давление (кстати, в математическую модель давление входит только под знаком производной), число Эйлера часто записывают в виде отношения перепада давления в системе к скоростному напору .

Критерий Струхаля (или гомхронности) можно рассматривать как отношение времени протекания процесса t к времени, в течение которого элемент среды, движущийся со скоростью ,проходит расстояние L. Этот критерий является определяющим при исследовании нестационарных гидродинамических процессов.

Итак, математическая модель, описывающая процесс течения среды в канале, позволяет составить полный список определяющих размерных величин, из которого с помощью p - теоремы можно найти требуемое количество критериев подобия. В данном случае критериальное уравнение (7.13) имеет вид

или в случае стационарного течения

Если в качестве искомой величины выступает давление (или потери давления), то определяемой величиной является критерий Эйлера, и тогда критериальное уравнение записывается в виде: