Основные понятия теории подобия

МОДЕЛИРОВАНИЕ процессов ТЕЧЕНИЯ СПОШНЫХ СРЕД

Как уже говорилось, математическое описание любого явления (в том числе и течения сплошной среды) сводится к составлению математической моде­ли, описывающей это явление. Математическая модель включает замкнутую систему уравнений, отражающую основные закономерности изучаемого явления, и условия однозначности, определяющие рас­пределение искомых величин внутри системы в начальный момент времени (начальные условия) и законы изменения этих величин на границах системы для любого момента времени (граничные условия).

Однако, как отмечалось, аналитическое решение системы дифференциальных уравнений, описывающей течение вязкой жидкости в общем слу­чае получить не удается. Поэтому при решении этих задач широко используются экспериментальные и численные методы. При этом инженерные расчеты гидравлических систем и теплообменных устройств практически всегда ведутся в одномерном приближении. Использование упрощенного одномерного подхода требует наличия дополнительной информации о коэффициентах, учитывающих потери механической энергии потока. Теоретически эти коэффициенты могут быть получены из решения трехмерной системы уравнений, однако по причинам, о которых говорилось ранее, в инже­нерной практике эти коэффициенты вычисляют по эмпирическим или полуэмпирическим формулам.

Очевидно, что при экспериментальном исследовании все условия протекания реального процесса могут быть выдержаны только при проведении эксперимента на самом реальном процессе. Полученные при этом экспериментальные результаты - это решение лишь этой одной конкретной задачи. Для задач из этой же группы явлений, но в других условиях протекания процесса (например, с другими условиями однозначности) оно уже не годится. Кроме того, в некоторых случаях экспериментальное исследование может оказаться слишком дорогим или даже практически невыполнимым.

Любое явление характеризуется рядом физических величин, называемых определяющими, между которыми существует объективная функциональная зависимость. На процесс изотермического течения вязкой жидкости влияет большое количество факторов - скорость движения среды, теплофизические свойства среды, геометрия канала или обтекаемого тела и т.д. Очевидно, что объем экспери­ментов (или вычислений при численном моделировании) и их сложность возрастают с увеличением числа незави­симых переменных, определяющих протекание процесса, т.к. для исследования влияния на процесс какой-то одной величины остальные нужно поддерживать постоянными, что может оказаться затруднительным из-за большого количества влияющих переменных. При этом соответственно резко возрастает объем исследований и усложняется анализ и обобщение результатов экспериментов или вычислений.

Таким образом, во всех случаях, когда необходимо прибегать к экспериментальному или численному исследованию, нужно иметь аппарат, который позволил бы

§ результаты экспериментов (или численных решений), выполненных в конкретных условиях, распространить на другие условия протекания данного процесса;

§ в случае, когда экспериментальное или численное исследование осложнено большим количеством определяющих величин, уменьшить их количество, перейдя к безразмерным параметрам, а, следовательно, минимизировать количество экспериментов и вычис­лений, необходимых для решения поставленной задачи;

§ в случае невозможности проведения эксперимента в натурных условиях ответить на вопрос о том, по каким правилам должна быть изготовлена модель испытываемого объекта, и как пересчитать экспериментальные данные, полученные на модели, чтобы получить достоверное описание изучаемого натурного объекта.

Все эти задачи позволяет решить теория подо­бия, которая играет огромную роль в научных исследованиях. Основой теории подобия является понятие о физическом подобии.

Процессы являются полностью физически подобными, если выполнены следующие условия [ИСАЧЕНКО]:

1. Процессы качественно одинаковы, т.е. имеют одинаковую физическую природу и описываются одинаковыми по форме дифференциальными уравнениями.

2. Условия однозначности этих процессов одинаковы во всем, кроме численных значений входящих в них размерных постоянных.

3. Одноименные критерии (числа) подобия, составленные из величин, являющихся определяющими для данных процессов, равны.

Эти три условия составляют содержание теоремы Кирпичева-Гухмана, сформулированной в 1931 г.

Совокупность процессов, имеющих одинаковую физическую природу и описываемых одинаковыми по форме и содержанию размерными уравнениями и условиями однозначности, относят к однойгруппе явлений (процессов).

Заметим, что из второго условия следует, что физически подобные процессы могут протекать только в геометрически подобных областях, т.е. геометрическое подобие систем, в которых протекают процессы, является необходимым условием физического подобия этих процессов.

Рассмотрим два физически подобных процесса течения вязкой среды в каналах - процесс " 1 " и процесс " 2 ". В качестве масштаба линейного размера каналов в декартовых координатах выберем их характерный линейный размер , т.е. величину, которая может быть принята за масштаб линейных размеров (например, для круглых каналов это их диаметр), тогда безразмерные координаты определятся как

и (i = 1, 2, 3).

Точки, удовлетворяющие равенствам , называются сходственными, очевидно, что для них справедливы следующие соотношения:

, (7.1)

где - константа геометрического подобия.

Аналогичные рассуждения можно выполнить для любых одноименных физических величин, рассматриваемых в сходственных точках подобных процессов - скорости, температуры, всех теплофизических свойств и т.д.

Таким образом, если процессы "1" и "2" физически подобны, то любая физическая величина в некоторой точке процесса "1" пропорциональна соответствующей величине в сходственной точке процесса "2", т.е.

. (7.2)

Коэффициенты пропорциональности называются константами подобия. Они безразмерны и, очевидно, имеют разные значения для величин, имеющих различный физический смысл. В общем случае они отличны от единицы. Если же все константы подобия равны единице, то процессы являются тождественными.

Критерии подобия на практике определяются из анализа математической модели процесса или из анализа размерностей определяющих параметров. В связи с этим необходимо отметить, что даже в тех случаях, когда систему уравнений, описывающую изучаемый процесс, решить не удается, сам факт ее составления играет очень большую роль, т.к. позволяет с помощью теории подобия планировать экспериментальные и численные исследования, и обобщать их результаты.

Критерии подобия из анализа математической модели можно получить одним из следующих методов: методом преобразований подобия, методом приведения математической модели к безразмерному виду или методом интегральных аналогов [?].

В тех случаях, когда вследствие сложности или недостаточной изученности явления, составить его математическую модель не удается, но известен полный список определяющих величин, необходимое количество и вид критериев подобия можно установить с помощью теории размерностей. Очевидно, что, в случае, когда математическая модель процесса известна, полный список определяющих величин может быть легко получен из нее, что позволяет и в этом случае для установления критериев подобия воспользоваться теорией размерностей. В связи с этим деление на теорию подобия и теорию размерностей носит весьма условный характер.

Функциональная связь между критериями подобия, характеризующими рассматриваемое явление, называется критериальным уравнением. Критериальные уравнения не являются универсальными, они описывают все процессы, принадлежащие только к данной группе физически подобных процессов.

При большом числе опреде­ляющих величин и соблюдении геометрического подобия часто оказывается невозможным обеспечить равенство численных значений всех критериев подобия, что является нарушением третьего условия теоремы Кирпичева-Гухмана. Поэтому, если все условия полного подобия обеспечить не удается, что часто случается на практике, прибегают к приближенному моделированию, при котором на модели воспроизводится тот же физический процесс, что и в натурном объекте, но при частичном нарушении некоторых из трех условий полного подобия. В этом случае обеспечивается равенство лишь некоторых определяющих критериев подобия, выбор которых зависит от конкретных целей исследования и условий протекания процесса.

Одна из возможностей приближенного моделирования связана с автомодельностью процесса относительно какого-либо критерия. Величина автомодельна относительно критерия подобия, если она от него не зависит. Если процесс автомоделен относительно какого-либо критерия подобия, то при моделировании отпадает необходимость соблюдать равенство этого критерия на натурном и модельном процессах [ИСАЧЕНКО].