1)Если f(x), g(x) – непрерывны в точке x0, то f(x) ± g(x); f(x)• g(x); f(x)/g(x) (g(x) ≠ 0) – также непрерывны в точке x0.
Докажем, что F(x) = f(x)•g(x) непрерывна в точке x0
Дано: f(x) и g(x) – непрерывны в x0 Û lim f(x) = f(x0); lim g(x) = g(x0)
X ® Xo X ® Xo
lim (f(x)•g(x)) = limf(x)•lim g(x) (по свойству предела функции) = f(x0)•g(x0) (по
X ® Xo X ® Xo X ® Xo
определению непрерывности) ® F(x) = f(x)•g(x) непрерывна в x0.
2) f(x) – непрерывна в точке x0, существует такая окрестность точки
f(x0) > 0 x0, во всех точках которой f(x) > 0.
15. Основные элементарные функции:
1. Степенные функции: y = xa,
где а – любое постоянное число. Областью определения считается промежуток x > 0, но если, например, а–натуральное число, функция определена для всех х.
2. Показательная функция: y = ax,
где a > 0, a ≠1. Область определения – множество всех действительных чисел.
3. Логарифмическая функция: y = logax,
где a > 0, a ≠1. Область определения: x > 0.
4. Тригонометрические функции: y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x.
Область определения для sin x и cos x – множество действительных чисел.
5. Обратные тригонометрические функции: y = arcsin x, y = arccos x, y = arctgx.
|
|
Область определения x Î [-1; 1] для arcsin x и arccos x, множество действительных чисел для arctg x.
Действия над функциями, которые считаются допустимыми:
1. все арифметические действия (f + g, f – g, f•g, f/g);
2. построение сложной функции.
Элементарными функциями называются такие, которые получаются из основных с помощью допустимых действий.