2015-05-05
386
График ф-ии яв-ся выпуклым на некот промеж, если все его точки леж. ниже люб касат, провед к этой кривой. Вогнутый - наоборот.
f”(x)<0 f”(x)>0
Точка перегиба – точка, отделяющ выпук часть непрер прямой от вогнутой части.
Необходимое условие - чтобы f”(x1)=0
Достаточное условие - смена знака второй производной при переходе через эту точку.
Интегральное исчисление функций одной переменной.
Первообразная.
Ф-я F(x) называется первообразной ф-и f(x) на множестве D, если для любого х из D:F’(x)=f(x).
Если F(x) первообрзная ф-и f(x) на мн-ве D, то любую другую первообразную этой ф-и можно получить по формуле: Ф(х)=F(x)+c при некотором значение с.
Док-во. Пусть F(x) – первообразная f(x), x принадлежит D: F’(x)=f(x).
Пусть Ф(х) – другая первообразная f(x), x принадл. D: Ф’(x)=f(x).
Составим ф-ю φ(х)=Ф(х)-F(х) – дифференцируема на мн-ве D → φ'(х)= Ф’(х)-F’(х)=f(x)-f(x)=0. По св-м ф-и, дифференцируемой на D → φ(х)=соnst.=c → Ф(х)-F(х)=с=const → Ф(х)=F(х)+с, что и т.д.
Неопределенный интеграл и его св-ва.
Опр. Совокупность всех первообразных для ф-и f(x) на множестве наз. Неопределенным интегралом этой функции. ∫f(x)dx=F(x)+c, f(x)-подинтегральная ф-я,f(x)dx – подинтегральное выражение.
Свойства.
1)[f(x)dx]’=f(x)
док-во: ∫f(x)dx=F(x)+c(по опр.), (∫f(x)dx)’= (F(x)+c)’=F’(x)=f(x)
2) d[f(x)dx] = f(x)dx
док-во: по опр. дифференциала: d[f(x)dx] = (f(x)dx)’dx=f(x)dx
3)∫dF(x)=F(x) +c
док-во: ∫dF(x)=∫F’(x)dx=∫f(x)dx=F(x)+c.
4)Постоянный множитель можно выносить за знак неопред. Интеграла:
∫kf(x)dx=k∫f(x)dx,x є D, k є R.
док-во: покажем, что k∫f(x)dx – совокупность первообразных для ф-и k*f(x):
По св-ву производной: (k∫f(x)dx)’=k*(∫f(x)dx)’=k*f(x).
5)∫[f(x)+(-)g(x)]dx = ∫f(x)dx +(-)∫g(x)dx/
Док-во: докажем, что ∫f(x)dx +(-)∫g(x)dx – первообразная для ф-и [f(x)+(-)g(x)]:
По св-ву производной: [f(x)+(-)g(x)]’= [∫f(x)dx]’ +(-)[∫g(x)dx]’= f(x)+(-)g(x), что и т.д.
Табличные интегралы.
Таблица интегралов
1) ∫ 0 dx = C = const 11) ∫dx/(√1-x2 )= arcsin x + C = - arccos x + C
2) ∫dx = x + C 12) ∫dx/(1+x2) = arctg x + C = - arcctg x + C
3) ∫xadx = xa+1/(a+1) + C, 13) ∫tgxdx = - ln |cosx| + C
a≠ -1 14) ∫ctgxdx = ln |sinx| + C
4) ∫dx/x = ln|x| + C 15) ∫ dx/(√a2- x2)=arcsinx/a +C=-arccos x/a + C
5) ∫exdx = ex + C 16) ∫dx/(a2+x2) = (1/a)arctg x/a + C=-(1/a)arcctg x/a + C
6) ∫axdx = ax/lnx + C 17) ∫dx/(x2–a2) = (1/2a) ln |(x-a)/(x+a)| + C
7) ∫cosx dx = sinx + C 18) ∫dx/(a2-x2) = (1/2a) ln |(x+a)/(x-a)| + C
8) ∫sinxdx = - cosx + C 19) ∫dx/(√x2+A) = ln |x + (√x2+A)| + C
9) ∫dx/cos2x = tgx + C
20) ∫(√x2+A)dx = (x/2)(√x2+A) + (A/2) ln |x+(√x2+A)|+C
10) ∫dx/sin2x = - ctgx + C
21) ∫ (√a2- x2)dx = (a2/2) arcsin x/a + (x/2) (√a2- x2) + C
Метод замены переменной или метод подстановки
∫f(x)dx, x Î D
Пусть x = φ(t), t Î T, φ(t) – дифференцируема на T и имеет обратную функцию
Докажем, что ∫ f(x)dx = ∫f(φ(t)) • φ’(t)dt, т. е. докажем, что ∫f(x)dx – первообразная f(φ(t))•φ’(t)
(∫f(x)dx)t’(по правилу дифференцирования сложной функции) = (∫f(x)dx)x’ • x’t = f(x)•φ’(t) = f(φ(t))•φ’(t)
∫ f(x)dx = ∫f(φ(t)) • φ’(t)dt – формула замены переменной в неопределенном интеграле
