Формула Ньютона-Лейбница, ее применение для вычисления определенных интегралов

Теорема. Пусть функция у=f(х) непрерывна на отрезке [а, b] и F(х) – первообразная для f(х).Тогда

(*)

Доказательство: Поскольку функция f(х) непрерывна на отрезке [а, b], то она интегрируема на этом отрезке и имеет первообразную на этом отрезке. Проверим справедливость формулы (*). Действительно,

подставляя х=b, получим

а подставляя х=а, получим

поэтому

Если F(х) – другая первообразная для функции f(х), то выполняется равенство F(х)= Ф(х)+С. Имеем

F(b)-F(a)=(Ф(b)+C)-(Ф(а)+С)=Ф(b)-Ф(а)

что завершает доказательство формулы (*). Разность F(b)-F(a) часто записывают в виде

и формула Ньютона-Лейбница в этом случае принимает следующий вид:

(**)

Мы доказали формулу для случая, когда f(х) непрерывная на [а, b] функция. В действительности эта формула справедлива для любой функции f(х), имеющей первообразную F(x)/

Формулу (**) обычно называют основной формулой интегрального исчисления. она позволяет сводить нахождение определенного интеграла к нахождению первообразной.