Биномиальное, Пуассоновское, геометрическое и гиппергеометрическое

Биномиальным распределением С параметрами n и р наз распределение числа успехов в n независимых испытаниях с вероятностью успеха в каждом испытании р. Биномиальное распред-е имеет вид:

Х				…	n
Р	Cn0p0qn	Cn1p1qn-1	Cn2p2qn-2	…	Cnnpnq0

Где q = 1-р. Для случайной величины Х, распределенной по биномиальному закону с параметрами n и р, M(X)=np, D(X)=npq.

Пуассоновское распределение с параметром λ>0 задается следующей бесконечной таблицей

Х			…	k	…
Р	e-λ	λ e-λ /1!	…	λke-λ /k!	…

M(x)=D(X)=λ

Геометрическим распределением с параметром р наз распределение числа испытаний до первого успеха в серии независимых испытаний с вероятностью успеха в каждом испытании. Оно имеет вид бесконечной таблицы:

Х			…	k	…
Р	р	qр	…	qk-1p	…

Для дискретной случайной величины. Распределенной по геометрическому закону, M(X)=1/p, D(X)=q/p².

Гипергеометрическое распределение. Рассмотрим пример. Пусть в партии из N изделий имеется М стандартных. Из нее случайно отбирают n изделий, причем отобранное изделие не возвращается в партию. Пусть Х- С.В.- число m изделий среди n отобранных. Найдем Р(Х=m):

(1) - Общее число элементарных исходов = Сⁿ_N. (2) - Число исходов, благоприятствующих событию Х=m,(среди взятых n изд-й ровно m стандартных)= С^m_M С^n-m_N-M

(m стандартных изделий можно извлечь из М С^m_M способами, при этом остальные n-m изделий д.б. нестандартными, последние мы извлкаем из N-M нестандартных изделий С^n-m_N-M способами).

Искомая вероятность равна отношению (1) к (2):

Р(Х=m)= С^m_M С^n-m_N-M / Сⁿ_N

Причем, если n Значительно меньше N, то гипергеометрич. Распределение дает вероятности, близкие к вероятностям, полученным по биномиальному закону.

Функция распределения случайной величины.

Определение. Функцией распределения случайной величины x называется функция F(x) = P{x < x}

Свойства F(x):

1) Зная F(x), можно найти P{x₁ £ x < x₂}

{x < x₂} = {x < x₂} È {x₁ £ x < x₂} Þ P{x < x₂} = P{x < x₂} È P{x₁ £ x < x₂}Þ

Þ P{x₁ £ x < x₂} = F(x₂) - F(x₁)

2) Функция F(x) неубывающая, причем 0 £ F(x) £ 1

Если x₂ > x₁, то F(x₂) ³ F(x₁) (P{x < x₂} ³ P{x < x₁})

3) Справедливы равенства:

а) lim F(x) = lim P{x Î (-¥; x)} = 1; b) lim F(x) = 0

^{x ® +¥ x ® +¥ x ® - ¥}

4) Функция F(x) = lim F(x - a) º F(x – 0)

^{a ® 0, a > 0}

5) P{x = x} = F(x+0) – F(x-0); где F(x+0) º lim F (x + a)

^{a ® 0, a > 0}

Непрерывные случайные величины

Случайная величина x называется непрерывной, если непрерывной является ее F(x) (в любой точке x)

Случайная величина x называется абсолютно непрерывной, если ее F(x) дифференцируема в любой точке x₁ за исключением, быть может, конечного числа точек.

Свойства непрерывной случайной величины: P{x = x} = F(x+0) – F(x-0) = 0

При этом F(x) непрерывна.