Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины

x - непрерывная случайная величина, x Î (-¥; +¥)

^{x x x x x}

^{X-2 X-1 Xo X1}

Введем дискретную случайную величину x_Е Î {…, x_-2, x_-1, x₀, x₁, x₂,…}

Закон распределения дискретной случайной величины x_Е

Pi = P{x_i £ x < x_i+1} = _Xi∫^Xi+1f(x)dx x x1 x2 …

p p₁ p₂ …

Математическое ожидание Мx_Е = _{i = -¥}S^¥x_ip_i = _{i = -¥}S^¥x_ip{x_i £ x < x_i+1}

По определению полагаем:

Mx = lim Мx_Е = lim _{i = -¥}S^¥x_i f(x_i )Δx_i = _-¥∫^¥xf(x)dx

^{E®0 E®0}

E

Итак, если x Î (a,b), то Мx = _a∫^bxf(x)dx; _a∫^bf(x)dx = 1

Дисперсия Dx = M{(x - Mx)²} = _a∫^b (x - Mx)² f(x)dx

Стандартное отклонение случайной величины X определяется как корень квадратный из диспрерсии и обозначается σx.

Для математического ожидания и дисперсии непрерывной случайной величины Х сохраняются свойства числовых характеристик дискретной случайной величины.