Неравенства Маркова и Чебышева. Закон больших чисел. Теоремы Бернулли и Чебышева. Центральная предельная теорема Ляпунова

Неравенство Маркова. Пусть У ³0 - дискретная СВ. e>0 - некоторое число, тогда Р(У³e) ≤М(У)\ e

Неравенство Чебышева. Пусть имеется СВ x с математическим ожиданием m и дисперсией D. Каково бы ни было положительное число e, вероятность того, что величина x отклонится от своего математического ожидания не меньше чем на e, ограничена сверху числом D\e²

Под законом больших чисел в теории вероятностей понимается ряд теорем, в каждой из которых устанавливается факт приближения средних характеристик большого числа опытов к некоторым определенным постоянным.

Теорема Чебышева. Пусть имеется бесконечная последовательность x1,x2,.. независимых случайных величин с одним и тем же математическим ожиданием m и дисперсиями, ограниченными одной и той же постоянной:

M[x1]=M[x2]=…=m

D[x1]<c, D[x2]<c,…

Тогда каково бы ни было положительное число e, вероятность события

|((x1+…+xn)\n)-m|<e, стремится к 1 при n стремящемся к бесконечности.

Теорема Бернулли. Пусть производится n независимых опытов, в каждом из которых с вероятностью р может наступить некоторое событие А. Рассмотрим СВ n - число наступлений события А в n опытах. Каково бы ни было положительное число e, вероятность события

|n\n-p|<e стремится к 1 при n стремящемся к бесконечности.

Центральная предельная теорема Ляпунова.

Если последовательность x1,x2,..независимых СВ удовлетворяет условию Ляпунова (отдельные отклонения xi от ее математического ожидания должны быть равномерно малы по сравнению с суммарным отклонением случайных величин. Если при n стремящемся к бесконечности предел