Характеристики

Кроме методов, основанных на определении импульсных и переходных характеристик, для анализа свойств линейных цепей широко применяют матричный метод. Его использование основывается на том, что для описания свойств сколь угодно сложной цепи достаточно знать зависимость между ее внешними напряжениями и токами. В этом случае сложная цепь заменяется эквивалентным четырехполюсником. Такой четырехполюсник эквивалентен данной цепи в том смысле, что токи и напряжения на его внешних зажимах тоже равны соответствующим значениям в реальной цепи.

Между входными и выходными комплексными амплитудами токов и напряжений может быть установлена зависимость в виде системы двух уравнений. Максимальное число пар уравнений равно шести. Из них наиболее употребимы четыре.

1. Если в качестве независимых переменных выбраны токи и , то их связь с и устанавливается парой уравнений

(1)

Z₁₁+

Z₁₂,

= Z₂₁+ Z₂₂

Система (1) может быть записана в матричной форме

(2)

Элементы матрицы называются Z -параметрами. Положем, что они являются полными сопротивлениями холостого хода четырехполюсника. На основании (1) можем записать:

, при ; , при ; , при ;

, при

Отсюда следует, что Z₁₁ - входное сопротивление четырехполюсника при разомкнутом выходе (“холостой ход”); Z₂₂ - выходное сопротивление четырехполюсника при разомкнутом входе; Z₁₂ - сопротивление передачи от входа к выходу при разомкнутом входе; Z₂₁ - сопротивление передачи от выхода к входу при разомкнутом выходе.

Среди четырехполюсников часто встречаются взаимные (обратимые), для которых Z₁₂ = Z₂₁. Если четырехполюсник обладает симметрией, то Z₁₁ = Z₂₂. Таким образом, обратимый симметричный четырехполюсник имеет два независимых Z -параметра: Z₁₁, Z₂₂.

2. Если в качестве независимых переменных выбраны напряжения и , то связь с токами и устанавливается с помощью матрицы проводимостей:

(2)

Коэффициенты матрицы (g -параметры) являются полными проводимостями короткого замыкания четырехполюсника. При коротком замыкании входа U₁=0, при K3 выхода - U₂=0. Подставляя поочередно эти условия в (2), находим, что y₁₁ и y₂₂ - входная и выходная проводимости: y₁₂,y₂₁ - проводимости передачи при K3 выхода или входа.

3. Матрица h‑ параметров связывает напряжение на входе и ток на выходе () с током на входе и напряжением на выходе ():

(3)

В режиме ХХ на входе и K3 на выходе из (3) найдем:

- полное входное сопротивление четырехполюсника при К3 выхода;

- обратный коэффициент передачи по напряжению (от выхода по входу) при ХХ на входе;

- коэффициент передачи по току (от входа к выходу) при К3 выхода;

- выходная проводимость при ХХ на входе.

4. Матрица передачи (a-матрица) связывает входные ток и напряжение () с выходными током и напряжением (). Но при использовании a-матрицы изменяют направление выходного тока на противоположное. Это создает определенные удобства при описании каскадного соединения четырехполюсников (см. рис.)

В соответствии с определением a-матрицы имеем:

(4)

Элементы a-матрицы определяются из (4) при ХХ и К3 на выходе:

- обратный коэффициент передачи по напряжению при ХХ на выходе;

- сопротивление передачи от входа к выходу при К3 выхода;

- проводимость передачи от входа к выходу при К3 выхода;

-обратный коэффициент передачи по току при К3 выхода.

Определитель a-матрицы взаимного четырехполюсника (Z₁₂=Z₂₁) = 1.

Т.к. один и тот же четырехполюсник может быть описан любой из рассмотренных матриц (системой параметров), то между соответствующими параметрами существует простая дробно - линейная связь. Например, элементы -матрицы и -матрицы связаны соотношениями:

. (5)

Эквивалентные схемы четырехполюсников.

В соответствии с уравнениями (1) - (4) произвольную цепь можно привести к сравнительно простой, (состоящей из 2-х или 3-х сопротивлений) эквивалентной цепи, в которой внешние токи и напряжения совпадают с внешними токами и напряжениями реальной цепи. Для взаимных и симметричных четырехполюсников наиболее часто используют Т - и П‑образные схемы (см. рис.).

Использование удвоенных сопротивлений в параллельных ветвях упрощает анализ при исследовании каскадных соединений. Т - П‑образные схемы, будучи моделями одного и того же четырехполюсника, эквивалентны между собой.

Характеристические параметры четырехполюсников.

Независимыми характеристическими параметрами четырехполюсников являются характеристическое сопротивление Z₀ и коэффициент распространения g.

По определению, характеристическое сопротивление

(6)
где и - входные сопротивления четырехполюсника в режиме ХХ и К3 выхода.

При из (4) имеем ; а при . Подставляя эти соотношения в (6) получим:

Для симметричного четырехполюсника (a₁₁=a₂₂) характеристическое сопротивление

(7)

Замечательное свойство характеристического сопротивления состоит в том, что если симметричный четырехполюсник нагружен на сопротивление Z₀, то его входное сопротивление тоже равно Z₀. Для доказательства этого утверждения сначала найдем формулу входного сопротивления четырехполюсника Z_ВХ, нагруженного на произвольное сопротивление Z_H. Из (4) следует, что

так как , то

(8)

Примем, что четырехполюсник симметричный и нагружен на . Подставляя это в (8) и учитывая a₁₁=a₂₂, получаем

Это свойство очень полезно, например, при проектировании кабельных линий соединяющих антенну и приемник.

Коэффициент распространения определяется как логарифм обратного коэффициента передачи по напряжению при условии, что четырехполюсник нагружен на характеристическое сопротивление

(9)

из (9) следует, что

(10)

Т.к. Z_H=Z₀, то на основании свойства характеристического сопротивления Z_BX=Z₀ для напряжений на входе и выходе четырехполюсника можно записать:

Подставляя эти соотношения в (10), находим

(11)

Таким образом, коэффициент распространения характеризует передающие свойства четырехполюсника как по току, так и по напряжению.

Коэффициент распространения является комплексной величиной: и, следовательно, . Первый множитель характеризует затухание сигнала, прошедшего через четырехполюсник, второй - изменение фазы сигнала. Поэтому a называют коэффициентом затухания, а b - коэффициентом фазы четырехполюсника.

Можно показать, что между элементами а-матрицы и характеристическими параметрами четырехполюсника Z₀ и существует следующая связь:

, , (12)

Тогда система уравнений вида (4) для взаимного симметричного четырехполюсника принимает вид:

(13)

Найдем связь между элементами матрицы и сопротивлениями, образующими эквивалентные Т - П-образные цепи. Для разомкнутых П - и Т-цепей имеем

(14)

В соответствии с (4) . Поэтому на основании (14) и (12) можно записать, что

a₁₁=1+Z₁/(2Z₂)=ch (15)
где Z₁ и Z₂ - соответственно сопротивление в горизонтальном и вертикальном плечах Т - или П-цепи.

Учитывая, что

sh( /2)=

из (15) находим более простое соотношение

(16)

Это соотношение очень полезно при исследовании процесса прохождения сигналов через различные фильтры.

Л 15, 16, 17, 18.

3.2. Характеристики линейных активных четырехполюсников.

Активной называют цепь, коэффициент передачи мощности которой больше единицы. С точки зрения закона сохранения энергии такое возможно, если в цепи действует дополнительный источник энергии, энергия которого преобразуется в энергию выходного сигнала. Преобразование осуществляется с помощью транзисторов, электронных ламп и других элементов, называемых активными. Эквивалентное представление цепи определяется режимом работы активного элемента. Для малых амплитуд переменного сигнала характеристики активных элементов практически линейны. В этом случае активную цепь можно представить линейным четырехполюсником. Принято считать, что большинство активных четырехполюсников невзаимны, то есть Z₁₂¹Z₂₁. (см. § 3.1).

На входе активных четырехполюсников действуют источники управляющих (входных) сигналов, а к выходу подключено сопротивление нагрузки Z_H. Под выходным напряжением при этом подразумевается падение напряжения на сопротивлении нагрузки. Для удобства выкладок мы будем считать, что падение напряжения на нагрузке равно по значению и противоположно по знаку напряжению на выходных зажимах четырехполюсника.

Все основные свойства активных линейных цепей - основные параметры, эффекты обратной связи, критерии устойчивости цепей с обратной связью - мы будем рассматривать на основе ранее изложенной теории линейного четырехполюсника.

Для вывода соотношений, описывающих основные характеристики линейных активных цепей, запишем соотношение (3) линейного четырехполюсника в виде:

(17)

Соотношение (17) является системой уравнений контурных токов, в качестве которых выступают входной и выходной токи, заданные своими амплитудами. На рисунке изображена эквивалентная схема четырехполюсника, построенная в соответствии с уравнениями (17). В этой схеме с помощью источника напряжения учтено влияние напряжения на величину , а с помощью источника тока - влияние входного тока на ток .

Т.к. , то второе уравнение (17) примет вид , откуда для частотного коэффициента передачи по току

(18)

где .

Частотный коэффициент передачи по напряжению найдем исключив ток из первого уравнения (17) и использовав (18):

(19)

где Dh’=h₁₁h’₂₂‑h₁₂h₂₁.

Коэффициенты передачи (18) и (19) можно рассматривать как коэффициенты усиления по току и напряжению активного четырехполюсника.

Входное сопротивление активного четырехполюсника найдем из первого уравнения (17) с учетом (18)

(22)

Выходное сопротивление Z_BbIX - сопротивление на разомкнутых выходных зажимах четырехполюсника при подключенном по входу источнике сигала с внутренним сопротивлением R_Г (т.е. полагая, что ) - найдем из второго уравнения (17)

При U_Г=0, , где . Окончательно для получаем

(22)

Полученные соотношения заметно упрощаются при условии :

(22)

Рассмотрим теперь, что представляют собой h -параметры активного четырехполюсника. Для этого запишем первое уравнение системы (17) в виде функциональной зависимости . Используя разложение в ряд Тейлора по малым приращениям входного тока D и выходного напряжения D , найдем вызывающее их приращение входного напряжения D , в виде

Сравнив полученное соотношение с первым уравнением (17), запишем

, (23)

Малыми приращениями являются малые переменные токи и напряжения. Таким образом, для малых сигналов параметры h₁₁, h₁₂ и очевидно, h₂₂ и h₂₁ являются дифференциальными и представляют собой наклон характеристик U₁(J₁) и U₁(U₂) вокруг заданной рабочей точки. Эти характеристики для активных элементов не являются линейными, поэтому система уравнений справедлива, строго говоря, при исчезающе малой амплитуде входных воздействий. Тем не менее положение рабочей точки может быть выбрано таким образом, что, в довольно широкой области вблизи нее, характеристики могут считаться линейными с достаточной степенью точности. На практике считают, что h-параметры относятся к переменным малым напряжениям и токам.