Общие уравнения динамики машин и механизмов

Динамические нагрузки в упругих элементах механизмов и машин определяют из дифференциальных уравнений движения масс, причем число уравнений, подлежащих совместному решению, равно числу степеней свободы системы. Дифференциальные уравнения движения системы можно составить различными методами: Даламбера, Лагранжа, Эйлера-Ньютона и другими.

Согласно принципу Даламбера, в любой момент времени имеет место равновесие сил инерции, активных внешных сил и сил реакции связей находящейся в движении системы.

В этом случае необходимым и достаточным условием равновесия является равенство нулю геометрической суммы сил и суммы моментов этих сил относительно произвольной точки A, т.е.

(3.1)

(3.2)

где P_{u =} m_i^.a_i - сила инерции; P_i - активная сила; R_i - реакция связи, приложенная к произвольной массе системы.

Недостатком принципа Даламбера является то, что для его использования требуется учет направления действия сил инерции и действующих ускорений, что не всегда возможно.

Наиболее общим и простым методом решения задач динамики для несвободных систем является метод Лагранжа, основанный на понятии обобщенных координат. Для получения дифференциальных уравнений движения методом Лагранжа необходимо составить выражение для кинетической и потенциальной энергии системы в функции выбранных обобщенных координат.

Уравнение Лагранжа для обобщенной координаты x имеет вид

(3.3)

где обобщенная скорость: ; К и П - соответственно кинетическая и потенциальная энергии исследуемой системы; P_x - движущая обобщенная сила.

Кинетическая энергия вращающихся и поступательно движущихся масс

где и соответственно момент инерции, угол поворота и угловая скорость любого вращающегося элемента относительно оси его вращения; m, S и соответственно масса, путь и линейная скорость любого поступательно движущегося элемента рассматриваемой системы.

Потенциальная энергия системы

где C и K - угловая (при кручении) и линейная жесткости элемента x системы; и S - угол закручивания и перемещение элемента x.

С понятием обобщенной координаты x связано понятие обобщенной силы P_x. Эта сила равна частному от деления элементарной работы dA, производимой всеми силами (как внутренними, так и внешними), действующими на систему, на бесконечно малое приращение обобщенной координаты dx:

P_x = dA/dx.

При составлении уравнений движения системы распределенные массы заменяют сосредоточенными, а рассредоточенные – приведенными.

Основная литература [3, c. 326…330]

Дополнительная литература [10, c. 47…50]

Контрольные вопросы:

1. В чем заключается принцип Даламбера? Назовите его недостаток.

2. Напишите уравнение Лагранжа.

3. От каких параметров зависят кинетическая и потенциальная энергии системы?

Лекция 4