Обобщенные ряды Фурье

Радиотехнические сигналы можно раскладывать в ряд Фурье не только по гармоническим функциям. В последние годы, в связи с развитием дискретной и цифровой техники, оптимальных методов радиоприема, часто практикуется разложение сигналов в ряды по другим ортогональным функциям. По аналогии с обычным рядом Фурье произвольный сигнал s (t) можно разложить в обобщенный ряд Фурье по функциям u_k (t), удовлетворяющих условию взаимной ортогональности

, если k ¹ m. (4.1)

Тогда сигнал s (t) можно записать в виде ряда

, (4.2)

где коэффициенты С_k вычисляются по формулам:

, (4.3)

где

(4.4)

– норма сигнала u_k. Пределы интегрирования (t ₁, t ₂) в интегралах (4.3) и (4.4) определяются областью задания базисных функций u_k (t). Если функции u_k (t) заданы на бесконечном интервале – пределы интегрирования должны быть бесконечными. Для функций, заданных на конечном интервале (t ₁, t ₂) пределы интегрирования определяются границами интервала. Для периодических функций пределы интегрирования определяются длительностью периода.

Легко убедиться, что формулы (4.1) – (4.4) применимы к обычному ряду Фурье (2.1), т. е. к разложению периодического сигнала Ф (t), или сигнала, заданного на интервале (– Т /2, Т /2), в ряд по функциям и

Непосредственным интегрированием можно убедиться в том, что гармонические функции удовлетворяют условию ортогональности:

(4.5)

Найдем норму гармонических функций:

(4.6)

Подставляя норму гармонических сигналов в формулу (4.3) для коэффициентов С_k, получаем известные выражения (2.2) и (2.3) для коэффициентов обычного ряда Фурье.

Разложение функций в обобщенный ряд Фурье получается наиболее простым, если норма базисных функций u_k (t) равна единице:

. (4.7)

Такие системы функций называются ортонормированными. Для ортонормированного базиса формулы для вычисления коэффициентов обобщенного ряда Фурье приобретают вид:

. (4.8)

Рассмотрим примеры разложения сигналов по некоторым ортогональным базисам.