Кратні інтеграли (подвійні, потрійні): означення властивості, обчислення, застосування

Пусть в n-мерном пр-ве Rⁿ задана ограниченная область Ω с кусочно-гладкой границей Г (Ω`=Ω+Г) и на Ω (или Ω`) задана ф-я f(x)=f(x₁, …, x_n).

наз. мерой мн-ва Ω, а само мн-во Ω наз-ся измеримым.

Разрежем Ω` на части Ω_j, пересекающиеся разве что по своим границам, которые будем считать кусочно-гладкими. Для краткости будем говорить, что мы произвели разбиение ρ мн-ва Ω (сп-б разбиения не имеет знач-я). Введем понятие диаметра множества Ω – это есть точная верхняя грань . Выберем в каждой части Ω_j по произвольной точке ξ^j=(ξ^j₁. …, ξ^j_n) (ξ^j Ω_j) и составим сумму , которую будем наз-ть интегральной суммой Римана ф-и f, отвечающей разбиению ρ.

Предел суммы ,

когда максимальный диаметр частичных множеств Ω_j стремится к нулю, называется кратным интегралом от функции f на Ω (или по Ω`).

Рассмотрим трехмерное пр-во R³, в котором определена прямоугольная система координат (x, y, z). В нем задана непрерывная поверхность z=f(x, y), (x, y) Ω, где Ω – огр. двумерное мн-во, для кот-го возможно опр-ть понятие его площади (двумерной меры). В качестве Ω может быть взят круг, прямоугольник, эллипс и т. д. Ставится задача: опр-ть объем тела, ограниченного сверху поверхностью z=f(x, y), снизу плоскостью z=0 и с боков цилиндрической поверхностью, проходящей через границу Г плоского множества Ω, с образующей, параллельной оси z. Решая задачу о нахождении объема, проводим рассуждения, аналогичные приведенным выше для n-мерного случая. Приходим в результате к определенному двойному интегралу (Римана): .

Пусть теперь в трехмерном пр-ве R³, где определена прямоугольная система координат (x, y, z), задано тело Ω (мн-во) с неравномерно распределенной в нем массой и плотностью распределения m(x, y, z) тела Ω. Решая эту задачу, приходим к определенному тройному интегралу (Римана)