Доказательство. По определению производной, f'(c) =

По определению производной, f '(c) = . В свою очередь, по определению предела " e > 0 $ d > 0 - такое, что < e при 0 < ½ x - c ½ < d, или f '( c ) - e < < f '(c) + e в d-окрестности точки c (x ¹ c). Рассмотрим случай, когда f '(c) > 0.Возьмем e = f '(c). Из подчеркнутого неравенства следует, что > 0 в d-окрестности точки c (x ¹ c).

в d-окрестности точки c (x ¹ c).

Это и означает, что то f (x) возрастает в точке c.

Теорема доказана.

//Замечание. Условие f '(c) > 0 является только достаточным, но не необходимым условием возрастания функции в точке c.

Примеры.

1) f (x) = x ³.