2015-04-20
348
Определение. Будем говорить, что в точке c функция f (x) имеет локальный максимум (минимум), если найдется такая окрестность точки c, в к-ой f (x) < f (c) (f (x) > f (c)) при x ¹ с.
(здесь рисунок)
Теорема 7.6. (Ферма). Если функция f (x) имеет в точке c локальный экстремум и дифференцируема в точке с, то f ’(c) = 0.
Доказательство.
Пусть в точке c функция имеет максимум (для минимума доказательство аналогично). Допустим, f ’(c) ¹ 0. Пусть f ’(c) > 0. Тогда по теореме 7.5 функция возрастает в точке c и, следовательно, существует окрестность точки c, в которой f (x) ® f (c) при x > c, но это противоречит тому, что в точке c функция имеет локальный максимум. Таким же образом можно показать, что f ’(c) < 0 не выполнено. Значит, Пусть f ’(c) = 0, что и требовалось доказать.
Теорема доказана.
//Замечание. Условие f ’(c) = 0 является только необходимым, но не достаточным условием существования локального экстремума дифференцируемой функции.
Пример.
(здесь рисунок)
f (x) = x 3, f ’(0) = 0.
Теорема Ролля.
Теорема 7.7. (Ролля)
Пусть выполнены следующие три условия:
1) f (x) непрерывна на сегменте [ a, b ],
2) f (x) дифференцируема в интервале (a, b),
3) f’ (a) = f’ (b).
Тогда $ точка c Î (a, b): f’ (c) = 0.
