Определение евклидова пространства и его примеры

Определение 14.1. Вещественное линейное пространство L называется евклидовым, если в нём определена операция скалярного умножения: любым двум элементам x, y Î L сопоставлено вещественное число a = (x, y), удовлетворяющее следующим требованиям, каковы бы ни были элементы x, y, z Î L и число aÎ R:

1. (x, y)= (y, x);

2. (x + y, z) = ((x, z) + (y, z));

3. (a x, y)= (x,a y)= a(x, y);

4. (x, x)> 0 для всех x ¹ q;

5. (x, x)= 0, если x = q.

Любое подпространство L ¢ Í L - также является евклидовым пространством, так как для его элементов определено то же

самое скалярное умножение. Аксиомы 1-5 утверждают в совокупности, что скалярное умножение элементов x, y Î L есть (2-3) билинейная функция b (x, y), симметричная (1) и положительно определённая (4-5).

Поскольку симметричная билинейная функция однозначно определяется соответствующей квадратичной формой, мы можем ввести второе определение евклидова пространства, эквивалентное первому.