Пусть непрерывна в точке . Если при вычислении углового коэффициента касательной
окажется
(1.4)
То будем говорить, что в точке график функции имеет вертикальную касательную,
задаваемую уравнением (рис.1б)
(1.5)
рис.1.б.
Пример 1. 1. Пусть на графике функции заданы две точки . Найдем уравнения:
1) Секущей прямой проходящей через точки
2) Уравнения касательных прямых к графику проведённых
в точках .
Решение. 1) Определяем угловой коэффициент секущей прямой, проходящей через точки . Выписываем уравнение секущей или . Чтобы написать уравнение касательной нужно найти её угловой коэффициент. Согласно определению 1.3 угловой коэффициент касательной равен значению производной данной функции в точке касания: и . Подставляя данные в формулу (1.3), выписываем уравнения касательных
;
С помощью касательных определяют углы между графиками функций в точке их пересечения.
Определение 1.4. Углом между графиками функций в точке их пересечения называется угол между их касательными прямыми в этой точке рис. 2. Этот угол находим по формуле
(1.4)
По формуле (1.4) определяется острый угол между
рис.2. касательными прямыми.
Замечание. Определение производной удобнее записывать и использовать с помощью приращений.
Определение 1.5. Приращением аргумента называют разность и обозначают через . Разность = называют приращением функции.
Таким образом, определение производной можно переписать так
(1.5)
Замечание. Производные можно записывать следующими символами
Пример 1.2. Пользуясь определением (1.5), найдите производные функций в точке .
Решение. Используя определение производной (4.5), вычисляем приращение функции в точке . Тогда .
Пользуясь определением (1.5), найдём производную функции .
По определению имеем
Физический смысл производной. Пусть путь, пройденный точкой, движущейся вдоль прямой, меняется со временем по закону , тогда средняя скорость за период времени определяется как ;
Мгновенная скорость в момент времени есть (по определению) предельное значение средней скорости ;