Основные правиладифференцирования

Для практического вычисления производных определения (1.1) и (1.5) малопригодны. Обычно поступают так: из определения производной получают правила дифференцирования и при вычислении любой производной пользуются этими правилами.

Правило 1.1. При дифференцировании постоянный сомножитель выносится за знак

производной: . Доказательство

Правило 1.2. Производная суммы функций равна сумме производных . Доказательство.

Правило 1.3. Производная произведения двух функций равна производной первой функции, умноженной на вторую функцию плюс первая функция, умноженная на производную второй функции:

Доказательство

Правило 1. 4. Производная дроби равна произведению знаменателя на производную числителя минус произведение числителя на производную знаменателя, весь полученный результат делится на квадрат знаменателя:

Доказательство

Далее вычисляют производные основных элементарных функций и составляют из них таблицу производных. Для вычисления таблицы используют замечательные пределы.

Приведем некоторые примеры.

1. производная тригонометрической функции

2. производная тригонометрической функции

3. производная тригонометрической функции

4. производная показательной функции

3. производная логарифмической функции

Таблица производных основных элементарных функций

Замечание. Вычисление производных произвольных функций несложно, но требует практических навыков.

Пример 1.3. Используя правила дифференцирования и таблицу производных найти производные функций

Решение

1) ; 2) Переписываем функцию в удобном для дифференцирования виде . Следовательно

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10) .

Пример 1.4. Вычислим производную функции

Решение.

Далее все производные берём из таблицы производных и записываем ответ

.