Задачи рационального использования материальных ресурсов. Раскройная задача и оптимизация состава смеси

Проблема оптимального использования сырья имеет большое значение для многих отраслей промышленности. Эффективность экономии материальных ресурсов в такой ситуации − важнейший фактор повышения эффективности всего производства и деятельности предприятия в целом. Решение этой задачи непосредственно влияет на себестоимость продукции. Отходы производства составляют значительную часть себестоимости производимой продукции, а значит, минимизация отходов является первоочередной задачей.

При раскрое материалов образуется два вида отходов:

1) концевые отходы, обусловленные некратностью исходного материала и нарезаемых заготовок;

2) отходы, обусловленные требованиями комплектности.

<= Целевая функция:

Целевая функция предусматривает минимум отходов, при соблюдении требований комплектности, отсюда ограничения:

где виды заготовок по размерам:

1, 2, …. j … n – варианты раскроя материала;

1, 2, …. i … m – виды заготовок;

аi – количество заготовок в комплекте;

кij – количество заготовок i вида в варианте раскроя j;

сj – концевые отходы в варианте раскроя j.

Требуется определить хj, количество исходного материала (прутков, листов), раскраиваемых по каждому варианту, которое удовлетворяет требованию комплектности и обеспечивает минимум отходов. Для решения задачи предварительно составляется таблица возможных вариантов раскроя, абстрагируясь на этом этапе от требований комплектности.

Оптимизация состава смеси. Сырьевые материалы (вяжущие, заполнители, наполнители, смолы и химические добавки), используемые при производстве изделий, строительных и других материалов, как правило, представляют собой смеси из различных веществ, порошков, зерен разной крупности. Состав (рецептура) таких смесей задается концентрациями компонентов в виде массовых, объемных или мольных долей (процентов) zi при этом 0 ≤ zi ≤ 1, . Системы, свойства которых зависят только от соотношения компонентов =(z1, z2..zn) и не зависят от количества смеси, а также от условий переработки и других факторов, называются системами «состав-свойство» или многокомпонентными смесями. В строительстве, химической технологии, литейном производстве часто приходится решать задачи подбора состава многокомпонентных смесей так, чтобы определенные свойства этих смесей принимали свои наилучшие возможные значения с учетом экономических требований. Если известны теоретические зависимости свойств смеси и экономических требований, по которым производится выбор оптимального состава смеси, то формулируется задача оптимизации.

Если же теоретических зависимостей свойств смеси и экономических критериев от компонентного состава нет, то на основе анализа априорной информации о характере этих зависимостей выбирается наиболее подходящий план экспериментов. Обычно в качестве таких планов выбираются симплекс-решетчатые композиционные и полукомпозиционные планы. Поскольку, как правило, у исследователя нет исчерпывающей информации о характере интересующих его зависимостей, он из практических соображений должен начинать с применения планов для построения наиболее простых моделей. Далее проводятся эксперименты по выбранному плану. Результаты экспериментов обрабатываются методом наименьших квадратов и строятся математические модели. Затем построенные математические модели проверяются на адекватность. Если построенные модели оказываются адекватными, то далее формулируется задача оптимизации. Если же какие-то из построенных моделей для свойств смеси или экономических критериев оказываются неадекватными, то в план экспериментов добавляются дополнительные точки для проведения опытов, необходимые для построения более сложных моделей. Этот процесс продолжается до построения только адекватных моделей. После построения адекватных математических моделей свойств смеси и экономических критериев формулируется задача оптимизации компонентного состава смеси. Математическая формулировка таких задач в общем случае имеет вид: max(min) yj(z1,z2..zn),j= (функции свойств многокомпонентной смеси (полиномы Шеффе), построенные путем обработки результатов экспериментов, проведенных по специальным планам); max(min) Lk(z1,z2..zn),k= (экономические критерии) при 0≤zj≤1,

Выбор метода решения многокритериальной задачи оптимизации и преодоление возникающих при этом математических проблем могут быть осуществлены только после построения функций свойств многокомпонентной смеси с учетом конкретных особенностей решаемой задачи, а также особенностей экономических критериев. Построенные данных функций представляют собой математическую модель задачи определения оптимального «состав-свойство» многокомпонентных смесей.

Стоимость одной единицы готовой смеси L( = , a – стоимость единицы i – ой компоненты.