Метод узловых потенциалов

Из теории линейных электрических цепей

Расчеты линейных резистивных цепей. Законы Ома, Кирхгофа

В простейшем случае законы Ома и Кирхгофа можно проиллюстрировать с помощью рис. 1.1:

Рис. 1.1

- закон Ома —

- первый закон Кирхгофа — алгебраическая сумма токов в узле равна нулю. Например, все вытекающие токи имеют знак «+», а втекающие — знак «-». В примере втекающий и вытекающий ток это один и тот ток I;

- второй закон Кирхгофа — алгебраическая сумма напряжений в любом контуре равна нулю. Действительно, в примере E = U_R.

Законы Кирхгофа выполняются для цепей любой сложности.

Метод узловых потенциалов

1.2.1 Рассмотрим метод узловых потенциалов на примере анализа цепных схем (рис. 1.2).

Рис. 1.2

Метод узловых потенциалов основан на применении первого закона Кирхгофа последовательно ко всем узлам цепной схемы (общий узел имеет номер «0»). Проводимостям, включенным между соответствующим узлом и общим узлом схемы присваивается номер узла, например, проводимость между узлами «2» и «0» имеет наименование G ₂. Проводимостям, включенным между любыми двумя узлами (исключая общий узел) присваивается наименование G_ik, где i – номер меньшего, а k – большего по порядку узла. Для цепной схемы это проводимости G ₁₂, G ₂₃, G ₃₄, и т.д. Так как направления напряжений и токов, протекающих через проводимости схемы заранее неизвестны, примем следующее правило определения токов через проводимости: , где i – номер узла к которому применяется закон Кирхгофа; k – номер узла с которым связан через проводимость G_ik узел i, включая и нулевой узел.

Запишем последовательно уравнения алгебраических сумм токов для первого, второго, третьего и т.д. узлов, включая последний:

, для первого слагаемого k = 0. для второго k = 2. Для первого слагаемого второго узла i = 2, k = 1, для последнего k = 3. И т. д.

Перепишем систему уравнений, группируя проводимости с одинаковым потенциалом:

Если суммы проводимостей «примыкающих» к соответствующему узлу (они записаны в скобках), обозначить удвоением в индексе номера узла, запись системы уравнений упростится:

где G ₁₁ = G ₁ + G ₁₂, G ₂₂ = G ₁₂ + G ₂ + G ₂₃ и т.д.

Таким образом, мы получили «ленточную» систему уравнений, которая может быть записана в матричной форме:

и решена известными методами.

1.2.2 Рассмотрим обобщение метода узловых потенциалов для расчета цепей содержащих комплексные (операторные) проводимости. Для обозначения которых будем использовать символ Y (p). На рис. 1.3 показана цепь, состоящая из операторных проводимостей Y (p) и содержащая два узла.