Второго порядка

1 2 3 4 5

Определение 2.1. Неоднородным ЛДУ второго порядка назовём уравнение вида

(2.1)

где заданные непрерывные функции от . Если , то уравнение назовём однородным

(2.2)

Пусть являются решениями однородного ЛДУ (2.2)

Определение 2.2. Функции назовём линейно зависимыми если

либо , либо , где С постоянная величина

в противном случае функции называются линейно независимыми.

Теорема 2.1. Функции будут линейно независимыми, если выполняются

условия:

1) являются решениями ЛДУ (2.2)

2) определитель Вронского

. (2.3)

Определение 2.3. Решением начальной задачи назовём функцию удовлетворяющую условиям

(2.4)

где произвольно заданные числа. Условия называются начальными условиями.

Теорема 2.2. Если в ЛДУ (2.1) коэффициенты непрерывны на интервале и , то для любых чисел решение начальной задачи существует в единственном экземпляре.

Определение 2.4. Общее решение неоднородного ЛДУ (2.1) является объединением решений

произвольных начальных задач.

Определение 2.5. Любое конкретное решение неоднородного ЛДУ (2.1) назовём частным решением неоднородного уравнения.

Теорема 2.3. Если линейно независимые решения однородного ЛДУ (2.2), то общее решение однородного ЛДУ дается формулой

(2.5)

Здесь произвольные постоянные.

Доказательство. Нужно доказать два факта

1) является решением однородного ЛДУ (2.2)

2) любое решение начальной задачи можно получить из формулы (2.5) подбором

постоянных.

Проверим выполнение пункта 1). По условию . Далее

первый пункт теоремы доказан.

Докажем второй пункт. Пусть и является решением задачи Коши (2.4). Берём общее решение и докажем, что можно подобрать постоянные такие, что . То, что решение однородного ЛДУ доказано в пункте 1). Осталось подобрать постоянные , чтобы выполнялись начальные условия.