Функциональные последовательности и ряды

Функциональные ряды. Теорема Абеля.

Функциональным рядом называется выражение

U₁(x) + U₂(x) + U₃(x) +... + U_n(x) +...,

члены которого U₁(x), U₂(x),..., U_n(x),... являются функциями от х.

Давая х числовое значение х₀, мы получаем числовой ряд

U₁(x₀) + U₂(x₀) + U₃(x₀) +... + U_n(x₀) +...,

который может быть как сходящимся, так и расходящимся.

Множество тех значений х, при которых функциональный ряд сходится, называется его областью сходимости. Ясно, что в области сходимости сумма функционального ряда является некоторой функцией от х. Обозначим ее через S(x).

Специальный класс функциональных рядов составляют так называемые степенные ряды вида

с₀ + с₁ х + с₂ х² + с₃ х³ +... + с_n xⁿ +..., (9.1)

где с₀, с₁, с₂,..., с_n,... - последовательность действительных чисел, коэффициенты ряда.

Выясним, какой вид имеет “область сходимости” степенного ряда,то есть множество {x} тех значений переменной, для которых ряд (9.1) сходится.

Теорема Абеля

Если степенной ряд (9.1) сходится в точке х₀  0, то он сходится, и притом абсолютно, в интервале (- |x₀|, |x₀|), то есть при всех значениях х, удовлетворяющих условию |x|<|x₀|.