Если степенной ряд расходится при некотором значении х = х1, то он расходится и при всех значениях |x|>|x1|.
Любой степенной ряд сходится при значении х=0. Есть степенные ряды, которые сходятся только при х=0 и расходятся при остальных значениях х. Этот случай может быть проиллюстрирован рядом
1 + х + 22 х2 +... + nn xn +....
Действительно, если х фиксировано и х 0, то, начиная с достаточно большого n, будет |nx|>1, откуда вытекает неравенство |nn xn|>1, означающее, что общий член ряда не стремится к нулю.
Область сходимости может состоять из всех точек оси Ох, другими словами, ряд может сходится при всех х.