Свойства степенных рядов

Рассмотрим степенной ряд

с₀ + с₁ х + с₂ х² +... + с_{n x}ⁿ +..., (10.1)

имеющий радиус сходимости R>0 (R может равняться ). Тогда каждому значению х из интервала сходимости соответствует некоторая сумма ряда. Следовательно, сумма степенного ряда есть функция от х на интервале сходимости. Обозначим ее через S(x). Тогда можно записать равенство

S(x) = c₀ + c₁ x + c₂ x² +... + c_n xⁿ +..., (10.2)

понимая его в том смысле, что сумма ряда в каждой точке х из интервала сходимости равна значению функции S(x) в этой точке. В этом же смысле будем говорить, что ряд (10.1) сходится к функции S(x) на интервале сходимости. Вне интервала сходимости равенство (10.2) не имеет смысла.