Игра двух лиц с нулевой суммой

Постановка игровых задач

Коммерческое предприятие заключило договор на централизованную поставку овощей из теплиц на сумму 10 000 руб. ежедневно. Если в течение дня овощи не поступают, магазин имеет убытки в размере 20 000 руб. от невыполнения плана товарооборота. Магазин может осуществить самовывоз овощей. Для этого он может сделать заказ в транспортном предприятии, что вызовет дополнительные расходы в размере 500 руб. Однако опыт показывает, что в половине случаев посланные машины возвращаются без овощей. Можно увеличить вероятность получения овощей до 80%, если предварительно посылать туда своего представителя, что требует дополнительных расходов в размере 400 руб. Существует возможность заказать дневную норму овощей у другого надежного поставщика по повышенной на 50% цене. Однако в этом случае, кроме расходов на транспорт (500руб.) возможны дополнительные издержки в размере 300 руб., связанные с трудностями реализации товара, если в тот же день поступит и централизованная поставка. Какой стратегии надлежит придерживаться магазину, если заранее неизвестно, поступит или не поступит централизованная поставка.

Построим модель игры.

Поставщик: В₁ – поставка своевременная;

В₂ – поставки нет.

Магазин: А₁ – ожидать поставку без дополнительных мер;

А₂ – послать поставщику свой транспорт;

А₃ – послать к поставщику и транспорт и представителя;

А₄ – заказать поставку в другом месте.

Всего возможны 8 совместных ситуаций, сведем их в таблицу. В таблице рассмотрим всевозможные ситуации и сделаем расчет затрат магазина за день в зависимости от выбранной стратегии.

№	Ситуация	Стоимость овощей	Убытки от недопоставки	Транс. издержки	Командир. издержки	Издержки от реализации	Всего
	А1 В1
	А1 В2
	А2 В1
	А2 В2
	А3 В1
	А3 В2
	А4 В1
	А4 В2

Стратегия магазина	Стратегия поставщика
В1	В2
А1
А2
А3
А4

По данным таблицы составляются уравнения затрат магазина в зависимости от надежности поставщика для каждой стратегии магазина

Игра двух лиц с нулевой суммой

	В1	В2	…	Вn
А1	а11	а12		а1n
А2	а21	a22		a2n
…
Аm	am1	am2		amn

a_ij - выигрыш игрока А при выборе игроками А и В стратегий А_i и В_j соответственно.

Игрок А выбирает стратегию i. Его гарантированный выигрыш составит , где минимум берется по всем стратегиям игрока В.

V₁ =

Игрок В среди всех своих стратегий выбирает ту, которая обеспечит ему минимальный гарантированный проигрыш

V₂ =

Для матричной игры справедливо неравенство V₁ V₂.

Если V₁=V₂, то элемент платежной матрицы называется седловой точкой.

Пример. Определить нижнюю и верхнюю цену игры, заданной платежной матрицей

	В1	В2	В3	В4	min aij
A1
A2
A3
A4
max aij