Проверка значимости коэффициентов парной регрессии

При проверке качества модели наиболее важной является задача установления наличия линейной зависимости между результативной и факторной переменными.

Мы выбрали регрессионную модель в виде (1.1.3). В действительности может оказаться, что фактор x не влияет на результативный признак, и потому параметр a₁ должен быть равен нулю. Значение оценки b₁, найденное для конкретной выборки, при этом может быть отличным от нуля. Для проверки существенности отклонения b₁ от нуля проверяется значимость коэффициента.

Проверка значимости коэффициента означает проверку гипотезы против альтернативной гипотезы . Коэффициент считают значимым (значимо отличающимся от нуля), если верна гипотеза .

В качестве статистики для проверки гипотезы принимается отношение коэффициента регрессии к его стандартной ошибке . При выполнении исходных предпосылок модели эта величина имеет распределение Стьюдента с числом степеней свободы , где n – число наблюдений.

Если модуль вычисленного по выборке (фактического) значения статистики превысит критический уровень : , то гипотезу следует отклонить на уровне значимости и признать коэффициент значимым.

В противном случае, т. е. при , коэффициент незначим, и фактор исключают из модели.

Аналогично проверяется значимость оценки параметра , однако параметр в парной регрессии имеет более важную роль, так как его значимость соответствует наличию линейной связи между переменными модели.

Большинство статистических пакетов выводят t- статистику для рассмотренного случая. Однако если имеется основание предполагать, что величина равна некоторой заданной величине , то проверяют гипотезы , . Если по выборке получена оценка , то в качестве критерия проверки гипотезы используют t -статистику вида . (1.2.7)

Правило принятия решения аналогичное.

Задаваясь некоторым уровнем значимости , по таблицам t -распределения можно определить критическое значение статистики , задающее границы доверительного интервала, который с доверительной вероятностью накрывает значение статистики t, т. е. удовлетворяющее условию

.

Подставив в это равенство вместо t- статистики:

, , (1.2.8)

получаем следующие доверительные интервалы для параметров и :

, . (1.2.9)

Если в границы доверительного интервала попадает ноль, то оцениваемый коэффициент принимается нулевым, так как он не может одновременно принимать и положительное, и отрицательное значения.

Пример 1.2.3

Выполнить проверку значимости коэффициента , оцененного в примере 1.1.1, для уровня значимости .

Решение. Оцененную регрессионную модель обычно записывают следующим образом:

,

с учетом полученных оценок

Для проверки значимости коэффициента вычислим t- статистику и сравним ее значение с критическим .

Таким образом, нулевая гипотеза отвергается при уровне значимости . Коэффициент признается значимым, а следовательно, значима и факторная переменная .

Вопросы для самопроверки

1. Приведите формулу расчета коэффициента детерминации . Что характеризует коэффициент детерминации? В каких пределах изменяется коэффициент детерминации для парной линейной регрессии?

2. Как связаны коэффициент корреляции и коэффициент детерминации для парной линейной регрессии?

3. Приведите формулу расчета выборочного коэффициента корреляции. Назовите основные свойства выборочного коэффициента корреляции.

4. Как связан коэффициент линейной регрессии с выборочным коэффициентом корреляции?

5. С помощью какого критерия проверяется значимость коэффициентов регрессии? Каков алгоритм проверки значимости коэффициентов регрессии?