Пример 1.1.1

В табл. 1.1.1 приведены данные о зависимости объема продаж (тыс. шт.) от расходов на рекламу (усл. ед.) по 8 предприятиям концерна.

Таблица 1.1.1

	0,8		1,7	2,6	4,1	5,4	7,2
	4,6	6,6

Полагая, что между и имеет место линейная зависимость, построить выборочное уравнение линейной регрессии.

Решение. Коэффициенты регрессии , вычислим по формулам (1.1.17). Для удобства вычисления сумм оформим в виде табл. 1.1.2.

Таблица 1.1.2

№ п/п	x	y	xy
	0,8	5,6	4,48	0,64	31,36
		6,6	6,6		43,56
	1,7		20,4	2,89
	2,6			6,76
	4,1		86,1	16,81
	5,4			29,16
	7,2		172,8	51,84

Сумма	30,8	135,2	672,38	173,1	18279,04
Среднее	3,85	16,9	84,0475	21,637	285,61

В результате получим

, .

Таким образом, уравнение парной линейной регрессии имеет вид .

Полученные значения коэффициентов легко проверить с помощью стандартных статистических функций MS Excel НАКЛОН(Y;X) и ОТРЕЗОК(Y;X) соответственно.

Величина показывает, что с увеличением расходов на рекламу на 1 усл. ед. объем продаж предприятия возрастает в среднем на 2,78 тыс. шт. Величина имеет значение объема продаж предприятия в случае отсутствия рекламы.

Статистические свойства МНК-оценок

Рассмотрим вопросы качества и точности полученных оценок.

Найденные по МНК коэффициенты являются лишь выборочными точечными оценками истинных параметров регрессии. Выборочные оценки и являются случайными величинами, так как зависят от выборки и , а также от метода расчета. Критериями качества точечных оценок в статистике являются такие их свойства, как несмещенность, состоятельность и эффективность.

Учитывая, что , и воспользовавшись разложением

выражения (1.1.14) для и можно представить в эквивалентном виде

; . (1.1.19)

Таким образом, выборочные коэффициенты регрессии представлены в виде суммы постоянной составляющей (истинного значения) и случайной составляющей, зависящей от случайного отклонения модели , а значит, и от свойств .

Из (1.1.19) находятся статистические характеристики коэффициентов и .

Математические ожидания:

, . (1.1.20)

Дисперсии:

, . (1.1.21)

Ковариационная матрица:

. (1.1.22)

Из выражений (1.1.20)-(1.1.22) следует, что оценки параметров и являются несмещенными (математическое ожидание оценки равно истинному значению) и состоятельными. Действительно, оценка состоятельна, если сходится по вероятности к истинному значению параметра. Для несмещенных оценок достаточным условием сходимости является сходимость их дисперсии к нулю при неограниченном возрастании объема выборки. Справедлива также теорема Гаусса-Маркова.

Теорема Гаусса-Маркова. Если регрессионная модель (1.1.3) удовлетворяет условиям (1.1.5)-(1.1.8), то МНК-оценки имеют наименьшую дисперсию в классе всех линейных несмещенных оценок (являются эффективными оценками).

Несмещенной оценкой дисперсии возмущений является величина

, (1.1.23)

которая служит мерой разброса зависимой переменной и называется остаточной дисперсией. Величина S называется стандартной ошибкой регрессии.

Несмещенные оценки дисперсий коэффициентов и получаются путем замены в (1.1.21) неизвестного значения дисперсии возмущения его оценкой (1.1.23):

, . (1.1.24)

Величины и – стандартные отклонения (ошибки) МНК-коэффициентов регрессии.

После этапа оценивания модели следует этап проверки ее качества, который включает:

· проверку статистической значимости оценок параметров регрессии;

· построение доверительных интервалов параметров регрессии, дающих определенные гарантии точности их оценок;

· проверку общего качества уравнения регрессии;

· проверку качества прогнозов результативного признака.

Пример 1.1.2

Для данных примера 1.1.1 рассчитать стандартную ошибку регрессии и стандартные ошибки коэффициентов регрессии.

Решение. Подставляя рассчитанные в примере 1.1.1 значения и в формулу , найдем значения и разместим их в седьмом столбце табл. 1.1.3. Таблица 1.1.3

№ п/п
	0,8	5,6	4,48	0,64	31,36	8,404	7,8624	127,69
		6,6	6,6		43,56	8,96	5,5696	106,09
	1,7		20,4	2,89		10,906	1,1968	24,01
	2,6			6,76		13,408	2,5345	3,61
	4,1		86,1	16,81		17,578	11,71	16,81
	5,4			29,16		21,192	14,501	65,61
	7,2		172,8	51,84		26,196	4,8224	50,41
						28,42	5,8564	82,81
Сумма	30,8	135,2	672,38	173,1	2761,92		54,053	477,04
Среднее	3,85	16,9	84,0475	21,6375	345,24

В восьмом столбце таблицы рассчитаем значения . Вычислив соответствующие суммы, найдем несмещенную оценку дисперсии ошибки по формуле (1.1.23) и оценки дисперсий коэффициентов регрессии по формулам (1.1.24):