Пример 1. Из 15 аксиом планиметрий Е2 и L2 удалим аксиомы параллельности

Из 15 аксиом планиметрий Е² и L₂ удалим аксиомы параллельности. Оставшиеся 14 аксиом составляют Теорию абсолютной планиметрии. Эта теория не категорична, т.к. L₂ не изоморфна R². Эта теория дедуктивно не полна, т.к. аксиома параллельности не выводима из остальных аксиом.

Таким образом, одна и та же система аксиом абсолютной планиметрии в разных моделях имеет различные “визуальные” эффекты. Например, в плоскости L_2, см. §5, мы “видим” два равных треугольника по трем равным углам, а также две прямые, которые не параллельны и не пересекаются. Этого “увидеть” в плоскости R² мы не можем.

Пример 2.

Рассмотрим теорию, определяемую следующими 7 аксиомами.

1. Аксиома рефлексивности: "х(х£х).

2. Аксиомы антисимметричности: "х,у(х£у Ù у£х Þ х=у).

3. Аксиома транзитивности: "х,у,z(х£у Ù у£z Þ х£у).

4. Аксиома линейности: "х,у(х£у Ú у£х).

5. Аксиома плотности: "х,у$z(х¹у Þ х<z<у Ú y<z<x)

6. Аксиома отсутствия наименьшего элемента: "х$z (z<y).

7. Аксиома отсутствия наибольшего элемента: "х$z (z>y).

Эта система аксиом дедуктивно полна, см. например, [11], но не категорична, так как имеет две неизоморфные модели: Q - множество рациональных чисел и R - множество действительных чисел.