Решение. Тема: Парная линейная регрессия Вариант: Задание выполнил (а) студент (ка) курса

Тема: Парная линейная регрессия

Вариант: __________ Задание выполнил (а) студент (ка) ________ курса ___________________ группы __________________________ факультета заочной формы обучения ФИО ________________________________ _____________________________________

Проверил (а) доцент кафедры математических и естественнонаучных дисциплин, к.т.н. Н.Ю. Нарыжная Оценка ______________________________ «______» ___________________ 20_____ г. _____________________________________ подпись

Краснодар 2014

Задание:

По n районам некоторого региона известны данные за январь 20___ года (см. таблицу, соответствующую Вашему варианту) о потребительских расходах на душу населения y и средней заработной плате и выплатам социального характера х.

1. Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о форме связи.

2. Рассчитайте параметры линейного уравнения регрессии.

3. Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.

4. Дайте с помощью среднего (общего) коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.

5. Оцените с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнения.

6. Оцените с помощью F -критерия Фишера статистическую надежность результатов регрессионного моделирования.

7. Рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 7% от его среднего уровня. Определите доверительный интервал прогноза для уровня значимости a=0,05.

ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ РАСЧЕТОВ

(выполняется совместно с преподавателем в аудитории)

Район	Потребительские расходы на душу населения (у.е), у	Средняя заработная плата и выплаты социального характера (у.е.), х

Решение.

1) Построение поля корреляции:

у

х

2) Построение и анализ линейной модели регрессии:

Для расчета параметров a и b линейной регрессии y = a + b x, в соответствии с методом наименьших квадратов,необходимо решить систему нормальных уравнений относительно a и b:

Из этой системы получаются следующие формулы:

b= ; (1)

а= (2)

По исходным данным рассчитываем S y, S x, S y x, S x², S у². Для удобства результаты вычислений заносим в таблицу 1:

Таблица 1

i	yi	xi	yi xi	xi2	yi2	yxi	y - yxi	Ai
Сумма
Среднее значение						*	*

Подставляя полученные средние значения в формулы (1) и (2), находим

b=

а=

Получили следующее уравнение линейной регрессии: y = ___ ____ ∙x.

Из уравнения следует, что с увеличением заработной платы на 1 у.е. доля расходов на ________________________ в среднем на ___ % - ных пункта.

3) Для оценки тесноты связи изучаемых явлений рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:

r_xy = =

Полученное значение r_xy показывает, что связь ______________________________________.

4)

а) Определим коэффициент детерминации R², который характеризует долю дисперсии, объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака:

R² =r_xy²=

Значение R² указывает на то, что вариация результативного признака у на _______ % объясняется вариацией признак - фактора х.

б). Оценку качества полученного уравнения регрессии дает также средняя ошибка аппроксимации Ā.

Для того, чтобы вычислить Ā, произведем следующие расчеты:

подставим в уравнение регрессии фактические значения х и определим теоретические (расчетные) значения ŷ _х (заполняем 7-ой столбец таблицы 1);

найдем разности y - ŷ _xi (8-ой столбец таблицы 1) и величины А_i= % (9-й столбец таблицы 1).

Теперь находим

Ā = Σ A_i/n =

Как видим, в среднем расчетные значения отклоняются от фактических на __________%, что

_______________________________________________________________________________.

в) Оценим качество уравнения регрессии с помощью F- теста. F- тест состоит в проверке гипотезы Н₀ о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи. Для этого выполняется сравнение фактического F _факт и критического (табличного) F_табл значений F- критерия Фишера. F _факт определяется из соотношения значений факторной и остаточной дисперсий, рассчитанных на одну степень свободы.

Рассчитаем фактическое значение F- критерия Фишера:

F _факт =

Здесь n – число единиц совокупности; m – число параметров при переменных х.

В данной задаче получили F_таблF _факт, что указывает на необходимость принять (отвергнуть) гипотезу Н₀ о случайной природе выявленной зависимости и статистической незначимости параметров уравнения регрессии и показателя тесноты связи.