Обнаружение гетероскедастичности

В ряде случаев, зная характер данных, появление проблемы гетероскедастичности можно предвидеть (как в примерах п. 5.1.1) и попытаться устранить этот недостаток еще на этапе спецификации модели. Однако чаще всего эту проблему приходится решать после построения уравнения регрессии.

Обнаружение гетероскедастичности в каждом конкретном случае является довольно сложной задачей, так как для знания дисперсий возмущений необходимо знать закон распределения случайной переменной Y, соответствующий каждому выбранному значению x_i переменной X. На практике часто для каждого конкретного значения x_i определяется единственное значение y_i, что не позволяет оценить дисперсию переменной Y.

Заметим также, что не существует какого-либо однозначного метода определения гетероскедастичности. Однако к настоящему времени для такой проверки известно довольно большое число критериев и тестов для них. Рассмотрим наиболее наглядные и простые.

а) Графический анализ остатков

Использование графического представления отклонений фактических значений y_i зависимой переменной Y от значений у_i*, полученных в результате расчета по выборочному уравнению регрессии, позволяет определиться с наличием гетероскедастичности. В этом случае по оси абсцисс откладываются значения x_i объясняющей переменной X, а по оси ординат либо остатки еi= уi- уi*, либо их квадраты еi ², i = 1, 2, …, n.

Смысл использования графиков остатков состоит в том, что всякое отклонение от сделанных предположений относительно случайных возмущений e_i отражается на остатках e_i. Примеры таких графиков приведены на рис 5.1.

На рис. 5.1, a) все отклонения еi ² находятся внутри полуполосы постоянной ширины, параллельной оси абсцисс. Это позволяет говорить, о независимости дисперсий еi ² от значений x_i переменной X и их постоянстве, т.е. в этом случае скорее всего выполняются условия гомоскедастичности модели.

На рис. 5.1, б) – д) наблюдаются систематические изменения между значениями x_i переменной X и квадратами остатков еi ², что отражает большую возможность наличия гетероскедастичности модели.

Рис. 5.1. Зависимость остатков от значений объясняющей переменной

Отметим, что графический анализ остатков является удобным инструментом в случае парной регрессии. При множественной регрессии графический анализ возможен для каждой из объясняющих переменных X_j (j = 1, 2, …, m) отдельно. Часто используется также зависимость еi ² от значений у_i*, получаемых по выборочному уравнению регрессии. В этом случае вместо значений объясняющих переменных X_j по оси абсцисс откладывают значения у_i*, i = 1, 2, …, n. Поскольку значения у_i* являются линейной комбинацией значений объясняющих переменных X_j (j = 1, 2, …, m), то график, отражающий зависимость еi ² от у_i*, будет указывать на наличие гетероскедастичности аналогично ситуациям на рис. 5.1, б) – д). Такой анализ наиболее целесообразен при большом количестве объясняющих переменных.

б) Тест ранговой корреляции Спирмена

Идея данного теста для проверки гетероскедастичности заключается в том, что абсолютные величины остатков e_i являются оценками s_i , поэтому в случае гетероскедастичности абсолютные величины остатков e_i и значения x_i объясняющей переменной будут коррелированны.

Для использования данного теста все значения x_i и e_i ранжируются (упорядочиваются) по возрастанию:

и .

Здесь

Затем определяется коэффициент ранговой корреляции Спирмена:

, (5.1)

где – разность между рангами (номерами в упорядоченной

совокупности) величин x_i и e_i, i = 1, 2, …, n;

n – число пар наблюдений.

Если теоретический коэффициент ранговой корреляции Спирмена равен нулю, то статистика

(5.2)

при n ³ 10 имеет распределение, близкое к t -распределению Стьюдента с

(n – 2) степенями свободы. Поэтому при выполнении неравенства

,

где – квантиль порядка (1 – a /2) распределения Стьюдента с

(n – 2) степенями свободы необходимо отклонить гипотезу о равенстве нулю коэффициента ранговой корреляции , а, следовательно, и об отсутствии гетероскедастичности на уровне значимости a. В противном случае гипотеза об отсутствии гетероскедастичности принимается, т.е. считается, что модель гомоскедастична.

Пример 5.1. Проверить гомоскедастичность/гетероскедастичность регрессионной модели, построенной по данным примера 2.2, на уровне значимости 0,01.

Решение. Для нахождения коэффициента ранговой корреляции Спирмена r_{x , e} воспользуемся данными табл. 2.3 (см. пример 2.3), дополнив их необходимыми вычислениями:

Таблица 5.1

i	xi	ei	x (i)	e (i)			di
		–1,63		–4,45			–1
		–0,49		–1,63			–3
		1,57		–0,77			–7
		0,77		–0,63			–4
		–0,77		–0,49
		–0,63		0,22
		0,43		0,43
		1,76		0,77			–3
		1,29		1,29
		–4,45		1,57
		1,89		1,76			–1
		0,22		1,89
S	–	–	–	–	–	–	–

По формуле (5.1) рассчитываем коэффициент ранговой корреляции Спирмена:

,

а по формуле (5.2) – значение t -статистики:

.

По табл.1 Приложения при a = 0,01 и n = 12 находим . Так как (0,873 < 3,169), то принимается гипотеза об отсутствии гетероскедастичности, т.е. на уровне значимости 0,01 можно считать дисперсии возмущений постоянными. g